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Forum "Axiomatische Mengenlehre" - 1+1=2, natürliche Zahlen,
1+1=2, natürliche Zahlen, < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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1+1=2, natürliche Zahlen,: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Fr 24.10.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung 1+1=2.

Hallo zusammen,
zu meinen Vorwissen:
-)Wir haben die ZFC-Axiome eingeführt
-)Daraus haben wir dann mit Hilfe der Nachfolgerfunktion S(A):= A [mm] \cup \{A\} [/mm] definiert:
0:= [mm] \emptyset [/mm]
1:= S(0)=0 [mm] \cup \{0\}=\{\emptyset\} [/mm]
2:= S(1)=1 [mm] \cup \{1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, [/mm]
3:= S(2)=2 [mm] \cup \{2\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}, [/mm]
..
[mm] n:=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für }n=0 \\ S(n-1)=(n-1)\cup \{(n-1)\}, & \mbox{für }n\not=0 \end{cases} [/mm]
-) Existenz und eindeutigkeit von [mm] \IN [/mm]
-) Induktionsprinzip
-) Güligkeit der Peano Axiome
-) Ordnungsrelation (Ordnungsinduktion, Wohlordnung von [mm] \IN) [/mm]
-) Addition, Multiplikation auf [mm] \IN [/mm]
-) [mm] \IN [/mm] ist ein kommutativer Halbring mit 0 und Eins-element

Ich verwende die Definition der Addition sowie die Kommutativität von [mm] \IN. [/mm]
+: [mm] \IN \times \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm]
n+0 =n
n+S(m)=S(n+m)

1+1=S(0)+S(0)=S(S(0)+0)=S(0+S(0))=S(S(0+0))=S(S(0))=S(1)=2

Stimmt das? Kommt mir viel zu einfach vor!?
LG,
sissi

        
Bezug
1+1=2, natürliche Zahlen,: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Fr 24.10.2014
Autor: UniversellesObjekt


> Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung 1+1=2.
>  Hallo zusammen,
>  zu meinen Vorwissen:
> -)Wir haben die ZFC-Axiome eingeführt
>  ;-)Daraus haben wir dann mit Hilfe der Nachfolgerfunktion
> S(A):= A [mm]\cup \{A\}[/mm] definiert:
> 0:= [mm]\emptyset[/mm]
>  1:= S(0)=0 [mm]\cup \{0\}=\{\emptyset\}[/mm]
>  2:= S(1)=1 [mm]\cup \{1\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\},[/mm]
>  
> 3:= S(2)=2 [mm]\cup \{2\}=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\},[/mm]
>  
> ..
>  [mm]n:=\begin{cases} \emptyset, & \mbox{für }n=0 \\ S(n-1)=(n-1)\cup \{(n-1)\}, & \mbox{für }n\not=0 \end{cases}[/mm]
>  
> -) Existenz und eindeutigkeit von [mm]\IN[/mm]
>  ;-) Induktionsprinzip
>  ;-) Güligkeit der Peano Axiome
>  ;-) Ordnungsrelation (Ordnungsinduktion, Wohlordnung von
> [mm]\IN)[/mm]
>  ;-) Addition, Multiplikation auf [mm]\IN[/mm]
>  ;-) [mm]\IN[/mm] ist ein kommutativer Halbring mit 0 und
> Eins-element
>  
> Ich verwende die Definition der Addition sowie die
> Kommutativität von [mm]\IN.[/mm]
>  +: [mm]\IN \times \IN[/mm] -> [mm]\IN[/mm]

>  n+0 =n
>  n+S(m)=S(n+m)
>  
> 1+1=S(0)+S(0)=S(S(0)+0)

Wieso verwendest du nicht an dieser Stelle die Definition $n+0=n$? Für $n=S(0)$ heißt das $S(0)+0=0$ und somit $S(S(0)+0)=S(S(0))=S(1)=2$.

>=S(0+S(0))=S(S(0+0))=S(S(0))=S(1)=2

>  
> Stimmt das? Kommt mir viel zu einfach vor!?

Dein Weg stimmt auch, allerdings verwendest du die Kommutativität, die man hier eigentlich nicht bräuchte, wie mein Weg zeigt. Ist aber alles richtig [ok]. Bei solchen Aufgaben, die - wie du sagst - sehr einfach sind, macht es aber vielleicht Sinn, bei jedem Gleichheitszeichen anzugeben, welche Regel man gerade verwendet.

>  LG,
>  sissi

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
1+1=2, natürliche Zahlen,: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Fr 24.10.2014
Autor: sissile

danke ;)


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