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Forum "Physik" - Abbremsen einer Rakete
Abbremsen einer Rakete < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Abbremsen einer Rakete: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Di 20.12.2016
Autor: JaykopX

Hallo!
Ich möchte die benötigte Zeit einer Landung von einer Rakete berechnen.
Ihr Abstand zum Boden ist gegeben durch [mm] $s_0$, [/mm] ihre Anfangsgeschwindigkeit (richtung Boden) ist gegeben durch [mm] $v_0$, [/mm] die Gravitation sei gegeben durch $g$.
Die Bremsbeschleunigung $b$ der Rakete wird mit zunehmender Zeit größer(in diskreten 1-Sekunden Schritten. Nach 4 Sekunden ist $b$ für den Rest der Zeit gleich).
Dazu habe ich die Bewegungsgleichung
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] v_0*t [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] g*t^2$ [/mm]
angepasst um die dynamische Bremsbeschleunigung zu berücksichtigen.
Dabei habe ich angenommen, dass
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt}$ [/mm]
und
$v(t) = [mm] v_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{a(t) dt}$ [/mm]
ist. Ich kenne a(t) in diskreten ein-Sekunden Schritten, also habe ich die Geschwindigkeit nach einer Sekunde wie folgt berechnet:
[mm] $v_1 [/mm] = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + g)*1s$
nach zwei Sekunden:
[mm] $v_2 [/mm] = [mm] v_1 [/mm] + [mm] (b_2 [/mm] + g)*1s =  [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + g)*1s + [mm] (b_2 [/mm] + g)*1s = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + 2*g)*1s$
nach drei Sekunden:
[mm] $v_3 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] + [mm] (b_3 [/mm] + g)*1s = ... = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + 3*g)*1s$
nach vier Sekunden:
[mm] $v_4 [/mm] = [mm] v_3 [/mm] +( [mm] b_4 [/mm] + g)*1s= ... = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] b_4 [/mm] + 4*g)*1s$
nach n Sekunden, da b sich nicht mehr ändert:
[mm] $v_n [/mm] = [mm] v_{n-1} [/mm] +( [mm] b_4 [/mm] + g)*1s = ... = [mm] v_0 [/mm] + [mm] (b_1 [/mm] + [mm] b_2 [/mm] + [mm] b_3 [/mm] + [mm] b_4 [/mm] + [mm] (n-4)*b_4 [/mm] + n*g)*1s$
wobei die [mm] $b_n$ [/mm] die Bremsbeschleunigung nach $n$ Sekunden ist.
Wenn ich die [mm] $v_n=\integral_{0}^{t}{v(t) dt}$ [/mm] jetzt in die Gleichung
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt}$ [/mm]
packe, dann erhalte ich
$s(t) = [mm] s_0 [/mm] + [mm] v_0*t [/mm] + [mm] b_1*t+ b_2*(t-1) [/mm] + [mm] b_3*(t-2) [/mm] + [mm] b_4*\bruch{(t-3)^2 + (t-3)}{2}+ g*\bruch{t^2 + t}{2}$ [/mm]
Löse ich die obige Gleichung nach t auf, dann sollte ich die gewünschte Lösung erhalten. Leider stimmt das Ergebnis nicht. Ich ich weis nicht wo mein Denkfehler liegt. Ich vermute, dass die beiden letzten Terme nicht richtig sind, aber durch stumpfes einsetzen habe ich diese so erhalten. Ich bin mir nichtmal sicher ob der Ansatz richtig ist und zur Lösung führt. Bin für jede Hilfe dankbar! Das ganze ist keine Aufgabe sondern ein "privates" Problem

        
Bezug
Abbremsen einer Rakete: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Di 20.12.2016
Autor: leduart

Hallo
sind denn die [mm] b_i [/mm] gegeben, dann verrat sie uns doch
aber die Geschwindigkeit kannst du nicht so einfach integrieren, rechne doch den Weg  in den  einzelnen Sekunden  aus, mir scheint, du hast die Endgeschwindigkeit integriert? der Weg in der ersten s ist doch [mm] s_0+v_0*1s+(g+b_1)*1/2s^2 [/mm] mit dem neuen s und v die 2 te sec berechnen usw.
dass g und b entgegengesetztes Vorzeichen haben ist klar?
Gruß leduart

Bezug
                
Bezug
Abbremsen einer Rakete: b_i
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Di 20.12.2016
Autor: JaykopX

Die [mm] $b_i$ [/mm] sind [mm] $1\bruch{m}{s^2}, 2\bruch{m}{s^2}, 3\bruch{m}{s^2}$ [/mm] und $4 [mm] \bruch{m}{s^2}$. [/mm] $g = [mm] -3.711\bruch{m}{s^2}$ [/mm] ist die Gravitation vom Mars. [mm] $s_0=2132,808m$ [/mm] und [mm] $v_0 [/mm] = [mm] -44,532\bruch{m}{s}$. [/mm] Die Zeit die bis zur Landung vergeht ist ca. $50s$ (getestet durch Simulation). Ich wollte nun auf diesen Wert kommen indem ich möglichst analytisch rechne und dann am Ende eine geschlossene Formel mit $t=...$ bekomme.

Bezug
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