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Ableiten von Integralen: Leibniz-Regel????
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Sa 20.11.2004
Autor: Michael1974

Hallo!

Ich kann die folgende Aufgabe nicht allein lösen:

[mm] \bruch{d}{dp} \integral_{py}^{b} [/mm] gh(g) dg

Meine Vermutung ist, dass man dazu die Leibniz-Regel verwenden muss, darin bin ich aber absoluter Anfänger.

Dennoch hier mein Versuch:

1. Da das obere Integral (b) nach p abgeleitet 0 ergibt, fällt dieser Term nach Anwendung der Leibniz-Regel weg.

2. Weil die Ableitung von gh(g) nach p ebenfalls 0 ergibt, fällt der Integral-Term nach Anwendung der Leibniz-Regel auch weg.

3. Übrig bleibt also nur noch der Term -h(p)*y

4. Da das g im Integral ein Faktor war, muss er in der Lösung auch enthalten sein, somit ergibt sich: -gh(p)*y

Das kann aber nicht stimmen, weil ich die Lösung des Gesamtproblems schon habe. Was mache ich falsch?

Was die Leibniz-Regel betrifft, darin bin ich Anfänger.

Die Lösung ist jedenfalls: [mm] -py*\bruch{dH(py)}{dp} [/mm]

Wer kann mir helfen?

Vielen Dank!

Michael

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ableiten von Integralen: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Sa 20.11.2004
Autor: Peter_Pein

Hallo Michael,

wenn ich die Leibniz-Regel richtig verstanden habe, hast Du mit den Punkten 1 und 2 Recht. Es bleibt aber [mm]-y*p*h(y*p)*\bruch{d (y*p)}{dp}[/mm] übrig.

Der Rest sollte Folklore sein...

Gruß,
Peter

Bezug
                
Bezug
Ableiten von Integralen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Sa 20.11.2004
Autor: Michael1974

Hallo Peter,

vielen vielen Dank für Deine Antwort!

Die Leibniz-Regel lautet nach meinen Informationen folgendermaßen:

[mm] \bruch{d}{dx}\integral_{u(x)}{v(x)}{f(x,t) dt} [/mm] = f(x,v(x)) v'(x) - f(x,u(x)) u'(x) + [mm] \integral_{u(x)}{v(x)}{f'x(x,t) dt} [/mm] Das x im letzten Term soll tiefgestellt sein, das habe ich so nicht hinbekommen.

Also:

v' = 0 (=> Erster Term fällt weg)
f'x(x,t) = [mm] \bruch{d}{dp} [/mm] gh(g) = 0, weil p in gh(g) gar nicht enthalten ist.
=> dritter Term = 0

Bleibt noch der zweite (mittlere) Term:

Das Minus ergibt sich aus der Formel,
f(x,u(x)) entspricht hier: py h(py), stimmt das?
u'(x) entspricht hier: d py / dp = y, auch richtig?

Insgesamt ergibt sich ja (wenn das alles richtig ist):

-py h(py) y

Wie kommt man nun von dem h(py) y auf [mm] \bruch{dH(py)}{dp}? [/mm]

Ist der Weg von [mm] \bruch{dH(py)}{dp} [/mm] zurück zu h(py) y durch den Weg "Äußere Ableitung mal innere Ableitung (nach p) durchzuführen?

Bitte nochmal um einen kurzen Denkanstoß, dann hab ich bestimmt den "Aha-Effekt"!

Danke!



Bezug
                        
Bezug
Ableiten von Integralen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:52 Mo 22.11.2004
Autor: Julius

Hallo Christian!

> [mm]\bruch{d}{dx}\integral_{u(x)}{v(x)}{f(x,t) dt}[/mm] = f(x,v(x))
> v'(x) - f(x,u(x)) u'(x) + [mm]\integral_{u(x)}{v(x)}{f'x(x,t) dt}[/mm]

[ok]

> v' = 0 (=> Erster Term fällt weg)
>  f'x(x,t) = [mm]\bruch{d}{dp}[/mm] gh(g) = 0, weil p in gh(g) gar
> nicht enthalten ist.
>  => dritter Term = 0

[ok]
  

> Bleibt noch der zweite (mittlere) Term:
>  
> Das Minus ergibt sich aus der Formel,
>  f(x,u(x)) entspricht hier: py h(py), stimmt das?

[ok]

>  u'(x) entspricht hier: d py / dp = y, auch richtig?

[ok]
  

> Insgesamt ergibt sich ja (wenn das alles richtig ist):
>  
> -py h(py) y

[ok]
  

> Wie kommt man nun von dem h(py) y auf [mm]\bruch{dH(py)}{dp}? [/mm]
>  
> Ist der Weg von [mm]\bruch{dH(py)}{dp}[/mm] zurück zu h(py) y durch
> den Weg "Äußere Ableitung mal innere Ableitung (nach p)
> durchzuführen?

Genau. Es gilt doch, wenn $H$ die Stammfunktion von $h$ ist, nach der Kettenregel:

[mm] $\frac{dH(py)}{dp} [/mm] =h(py) [mm] \cdot [/mm] y$.

Liebe Grüße
Julius
  

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