Add. und Mult. bei Abbildung? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:59 So 23.11.2014 | | Autor: | duduknow |
| Aufgabe | | Ist die Menge [mm] $\{f:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} \mid f(\frac{1}{2}) = 0\}$ [/mm] ein Untervektorraum von $Abb([0, 1], [mm] \mathbb{R})$? [/mm] |
Hi,
von welcher Addition und skalaren Multipliation, und welchem Körper muss ich bei dieser Aufgabe ausgehen?
Gibt es irgendwelche Standards, die ich annehmen muss, wenn ein Vektorraum mit Funktionen als Elementen vorliegt (welche sind das dann)?
Vielen Dank und mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 So 23.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Addition ist die "normale" Addition von Funktionen, sind also [mm] $f,g\in\text{Abb}([0,1],\IR)$, [/mm] dann ist die Summe punktweise so definiert: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$.
Die skalare Multiplikation ist analog so definiert: [mm] $(a\cdot f)(x)=a\cdot [/mm] f(x)$. Wenn nichts anderes da steht, kannst du immer davon ausgehen. Der Körper sollte so sein, dass die skalare Multiplikation Sinn ergibt, weil man sie als [mm] a\cdot [/mm] f(x) definieren will und [mm] $f(x)\in\IR$ [/mm] liegt, sollte man [mm] $a\in\IR$ [/mm] zulassen. Einen größeren Körper [mm] (\IC) [/mm] kannst du nicht nehmen, weil sonst $af(x)$ nicht mehr in [mm] $\text{Abb}([0,1],\IR)$ [/mm] wäre.
Einen kleineren kannst du wählen, z.B. kannst du [mm] $\text{Abb}([0,1],\IR)$ [/mm] auch als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] auffassen, wenn du möchtest. Für die Aufgabe würde das auch keinen Unterschied machen. Aber geh einfach immer von dem Körper aus, wo die Funktionen hingehen, hier also [mm] \IR.
[/mm]
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