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Forum "Algebraische Geometrie" - Algebraische Menge
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Algebraische Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Mo 24.11.2014
Autor: evinda

Hallo!!!

Ich will zeigen, dass wenn I,J Ideale von [mm] K[x_1, [/mm] ... , [mm] x_n] [/mm] sind, dann gilt es dass V(I [mm] \cap [/mm] J)=V(I) [mm] \cup [/mm] V(J).

Ich habe gezeigt dass V(I) [mm] \cup [/mm] V(J) [mm] \subseteq [/mm] V(I [mm] \cap [/mm] J).

Wie kann ich aber zeigen, dass V(I) [mm] \cup [/mm] V(J) [mm] \supseteq [/mm] V(I [mm] \cap [/mm] J) ?



Ich habe die Frage auch im Forum onlinemathe gestellt.

        
Bezug
Algebraische Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Mo 24.11.2014
Autor: felixf

Moin!

> Hallo!!!
>  
> Ich will zeigen, dass wenn I,J Ideale von [mm]K[x_1,[/mm] ... , [mm]x_n][/mm]
> sind, dann gilt es dass V(I [mm]\cap[/mm] J)=V(I) [mm]\cup[/mm] V(J).
>  
> Ich habe gezeigt dass V(I) [mm]\cup[/mm] V(J) [mm]\subseteq[/mm] V(I [mm]\cap[/mm]
> J).
>  
> Wie kann ich aber zeigen, dass V(I) [mm]\cup[/mm] V(J) [mm]\supseteq[/mm] V(I
> [mm]\cap[/mm] J) ?

Zeige doch, dass das Komplement von $V(I) [mm] \cup [/mm] V(J)$ im Komplement von $V(I [mm] \cap [/mm] J)$ liegt. Damit hast du die Kontraposition gezeigt.

Wenn $x$ nicht in $V(I) [mm] \cup [/mm] V(J)$ liegt, so gibt es ein $f [mm] \in [/mm] I$ und ein $g [mm] \in [/mm] J$ mit $f(x) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] g(x)$.

Beachte, dass jetzt auch $f(x) [mm] \cdot [/mm] g(x) [mm] \neq [/mm] 0$ ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Algebraische Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Di 25.11.2014
Autor: evinda

Also ist es so?

x [mm] \notin [/mm] V(I) [mm] \cup [/mm] V(J) [mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] V(I) [mm] \text{ und } [/mm] x [mm] \notin [/mm] V(J) [mm] \rightarrow \exists [/mm] f [mm] \in [/mm] I: f(x) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \text{ und } \exists [/mm] g [mm] \in [/mm] J: g(x) [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \rightarrow [/mm] (f [mm] \cdot [/mm] g)(x) [mm] \neq [/mm] 0 : f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] J [mm] \rightarrow [/mm] x [mm] \notin [/mm] V(I [mm] \cap [/mm] J)

Warum gilt aber, wenn f [mm] \in [/mm] I, g [mm] \in [/mm] J, dann f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] J ?

Bezug
                        
Bezug
Algebraische Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Di 25.11.2014
Autor: fred97


> Also ist es so?
>  
> x [mm]\notin[/mm] V(I) [mm]\cup[/mm] V(J) [mm]\rightarrow[/mm] x [mm]\notin[/mm] V(I) [mm]\text{ und }[/mm]
> x [mm]\notin[/mm] V(J) [mm]\rightarrow \exists[/mm] f [mm]\in[/mm] I: f(x) [mm]\neq[/mm] 0
> [mm]\text{ und } \exists[/mm] g [mm]\in[/mm] J: g(x) [mm]\neq[/mm] 0 [mm]\rightarrow[/mm] (f
> [mm]\cdot[/mm] g)(x) [mm]\neq[/mm] 0 : f [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm] I [mm]\cap[/mm] J [mm]\rightarrow[/mm] x
> [mm]\notin[/mm] V(I [mm]\cap[/mm] J)

Ja.


>  
> Warum gilt aber, wenn f [mm]\in[/mm] I, g [mm]\in[/mm] J, dann f [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm]
> I [mm]\cap[/mm] J ?


I [mm]\cap[/mm] J  ist ein Ideal !

FRED


Bezug
                                
Bezug
Algebraische Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Di 25.11.2014
Autor: evinda


> > Warum gilt aber, wenn f [mm]\in[/mm] I, g [mm]\in[/mm] J, dann f [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm]
> > I [mm]\cap[/mm] J ?
>
>
> I [mm]\cap[/mm] J  ist ein Ideal !
>  
> FRED
>  

Was folgt von der Tatsache, dass I [mm]\cap[/mm] J  ein Ideal ist?

Bezug
                                        
Bezug
Algebraische Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:22 Di 25.11.2014
Autor: UniversellesObjekt

Etwas Nachdenken/Sich die Definitionen ansehen würde dir wirklich nicht schaden. Da wird dir auch nicht helfen, alle Internetforen der Welt zu fragen, mehr als dass ein Ideal die Definition eines Ideals erfüllt, wird dir niemand sagen können oder wollen.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Bezug
Algebraische Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Di 25.11.2014
Autor: fred97


> > > Warum gilt aber, wenn f [mm]\in[/mm] I, g [mm]\in[/mm] J, dann f [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm]
> > > I [mm]\cap[/mm] J ?
> >
> >
> > I [mm]\cap[/mm] J  ist ein Ideal !
>  >  
> > FRED
>  >  
>
> Was folgt von der Tatsache, dass I [mm]\cap[/mm] J  ein Ideal ist?

Zum Beispiel das:

$f  [mm] \in [/mm]  I$  und  $g  [mm] \in [/mm]  J$  , dann $f  [mm] \cdot [/mm]  g  [mm] \in [/mm] I  [mm] \cap [/mm]  J $

FRED

>


Bezug
                                                
Bezug
Algebraische Menge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Di 25.11.2014
Autor: evinda

Also, ist es folgendermaßen?

f [mm] \in [/mm] I [mm] \text{und da I ein Ideal ist } \Rightarrow [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] I

g [mm] \in [/mm] J [mm] \text{ und da J ein Ideal ist } \Rightarrow [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] J

f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] I [mm] \text{ und } [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] J [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \cdot [/mm] g [mm] \in [/mm] I [mm] \cap [/mm] J

Bezug
                                                        
Bezug
Algebraische Menge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Di 25.11.2014
Autor: felixf

Moin!

> Also, ist es folgendermaßen?
>  
> f [mm]\in[/mm] I [mm]\text{und da I ein Ideal ist } \Rightarrow[/mm] f [mm]\cdot[/mm]
> g [mm]\in[/mm] I
>  
> g [mm]\in[/mm] J [mm]\text{ und da J ein Ideal ist } \Rightarrow[/mm] f [mm]\cdot[/mm]
> g [mm]\in[/mm] J
>
> f [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm] I [mm]\text{ und }[/mm] f [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm] J [mm]\Rightarrow[/mm] f
> [mm]\cdot[/mm] g [mm]\in[/mm] I [mm]\cap[/mm] J

Was genau willst du wissen? Ob []Arthur es dir richtig vorgesagt hat?

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Algebraische Menge: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:23 Di 25.11.2014
Autor: evinda

Ich hatte vergessen, dass ich die gleiche Frage an Arthur gestellt hatte.. Entschuldigung.....

Bezug
                                                                        
Bezug
Algebraische Menge: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 27.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Algebraische Menge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:56 Mo 24.11.2014
Autor: justdroppingby

ohne Worte:
http://math.stackexchange.com/questions/1031162/show-that-vi-cap-j-vi-cup-vj

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