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Anwälte und Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 Mo 16.02.2015
Autor: JoeSunnex

Aufgabe
In einer mäßigen Anwaltskanzlei werden jeden Morgen kleinere Fälle an die Anwälte verteilt. Jeder Anwalt entscheidet zufällig und unabhängig welchen Fall er betreuen möchte, wobei jeder Anwalt genau einen Schaden pro Tag beurteilt.

a) Es werden sechs Fälle an drei Anwälte verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle Anwälte an verschiedenen Fällen arbeiten.

b) Es werden vier Fälle an vier Anwälte verteilt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Anwälte den gleichen Fall betreuen?

c) Es werden drei Fälle an vier Anwälte verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass min. ein Fall nicht betreut wird.

Hallo zusammen,

habe Schwierigkeiten bei obiger Aufgabe zur Kombinatorik und frage euch daher um Hinweise:

Bei a) ist es noch recht einfach, da man mit $n = 6 [mm] \text{ und } [/mm] k = 3$ arbeiten kann und es sich um Ziehen mit Beachtung der Reihenfolge, jedoch ohne Wiederholung handelt. Also $|A| = 120$ und mit [mm] $|\Omega| [/mm] = [mm] 6^3 [/mm] = 216$ ergibt sich $P(A) = [mm] \frac{5}{9}$. [/mm]

Bei b) weiß ich nicht, wie ich das Ereignis B am besten abzählen könnte.

Bei c) kann man sich mit einem Übergang zum Komplement behelfen, sprich [mm] $\overline{C}$ [/mm] entspricht ja denn dem Ereignis, dass jeder Fall betreut wird. Bringt das jedoch was?

Grüße
Joe

        
Bezug
Anwälte und Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Mo 16.02.2015
Autor: abakus


> In einer mäßigen Anwaltskanzlei werden jeden Morgen
> kleinere Fälle an die Anwälte verteilt. Jeder Anwalt
> entscheidet zufällig und unabhängig welchen Fall er
> betreuen möchte, wobei jeder Anwalt genau einen Schaden
> pro Tag beurteilt.

>

> a) Es werden sechs Fälle an drei Anwälte verteilt.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle Anwälte an
> verschiedenen Fällen arbeiten.

Anwalt A bekommt einen Fall.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Anwalt B einen anderen Fall bekommt, ist (5/6).
Die Wahrscheinlichkeit, dass C einen noch nicht vergebenen Fall erhält, ist (4/6).
Die W., dass alle drei an verschiedenen Fällen arbeiten ist somit (5/6)*(4/6)=20/36=5/9.
Dein Ergebnis stimmt also.
>

> b) Es werden vier Fälle an vier Anwälte verteilt. Wie
> hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Anwälte
> den gleichen Fall betreuen?

Bei 4 Anwälten A,B,C,D gibt es 6 mögliche Kombinationen, welches die beiden Anwälte sind, die den selben Fall betreuen.
Annahme: A und B betreuen den selben Fall.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist (1/4).
Die W., dass C dann einen anderen Fall bekommt ist (3/4). Die W., dass D wiederum einen noch nicht vergeben Fall bekommt, ist 2/4.
Die W. des Gesamtpfades ist (1/4)*(3/4)*(2/4)=3/32.
Da es 6 mögliche Kombinationen für die Anwälte mit dem gleichen Fall gibt, ist das Ergebnis 6*3/32.
Vielleicht bekommst du c) jetzt selbst heraus.
Gruß Abakus

>

> c) Es werden drei Fälle an vier Anwälte verteilt.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass min. ein Fall
> nicht betreut wird.
> Hallo zusammen,

>

> habe Schwierigkeiten bei obiger Aufgabe zur Kombinatorik
> und frage euch daher um Hinweise:

>

> Bei a) ist es noch recht einfach, da man mit [mm]n = 6 \text{ und } k = 3[/mm]
> arbeiten kann und es sich um Ziehen mit Beachtung der
> Reihenfolge, jedoch ohne Wiederholung handelt. Also [mm]|A| = 120[/mm]
> und mit [mm]|\Omega| = 6^3 = 216[/mm] ergibt sich [mm]P(A) = \frac{5}{9}[/mm].

>

> Bei b) weiß ich nicht, wie ich das Ereignis B am besten
> abzählen könnte.

>

> Bei c) kann man sich mit einem Übergang zum Komplement
> behelfen, sprich [mm]\overline{C}[/mm] entspricht ja denn dem
> Ereignis, dass jeder Fall betreut wird. Bringt das jedoch
> was?

>

> Grüße
> Joe


Bezug
                
Bezug
Anwälte und Kombinatorik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Mo 16.02.2015
Autor: JoeSunnex

Hey Abakus,

danke für deine Antwort.

>  Bei 4 Anwälten A,B,C,D gibt es 6 mögliche Kombinationen,
> welches die beiden Anwälte sind, die den selben Fall
> betreuen.
>  Annahme: A und B betreuen den selben Fall.
>  Die Wahrscheinlichkeit dafür ist (1/4).
>  Die W., dass C dann einen anderen Fall bekommt ist (3/4).
> Die W., dass D wiederum einen noch nicht vergeben Fall
> bekommt, ist 2/4.
>  Die W. des Gesamtpfades ist (1/4)*(3/4)*(2/4)=3/32.
>  Da es 6 mögliche Kombinationen für die Anwälte mit dem
> gleichen Fall gibt, ist das Ergebnis 6*3/32.

Du bist davon ausgegangen, dass die beiden restlichen Anwälte nicht den gleichen Fall bearbeiten könnten. Wäre es nicht auch möglich, dass diese beiden Anwälte auch den gleichen Fall betreuen könnten, also:

$P(A) = 6 [mm] \cdot [/mm] (1 [mm] \cdot \frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{4})^2 [/mm] = [mm] \frac{27}{32}$ [/mm]

Bei c) könnte somit $P(C) = [mm] \binom{3}{2} \cdot (\frac{2}{3})^4 [/mm] + [mm] \binom{3}{1} \cdot (\frac{1}{3})^4 [/mm] = [mm] \frac{97}{432}$ [/mm] sein.


Bezug
                        
Bezug
Anwälte und Kombinatorik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Mo 16.02.2015
Autor: rmix22


> Hey Abakus,
>  
> danke für deine Antwort.
>  
> >  Bei 4 Anwälten A,B,C,D gibt es 6 mögliche Kombinationen,

> > welches die beiden Anwälte sind, die den selben Fall
> > betreuen.
>  >  Annahme: A und B betreuen den selben Fall.
>  >  Die Wahrscheinlichkeit dafür ist (1/4).
>  >  Die W., dass C dann einen anderen Fall bekommt ist
> (3/4).
> > Die W., dass D wiederum einen noch nicht vergeben Fall
> > bekommt, ist 2/4.
>  >  Die W. des Gesamtpfades ist (1/4)*(3/4)*(2/4)=3/32.
>  >  Da es 6 mögliche Kombinationen für die Anwälte mit
> dem
> > gleichen Fall gibt, ist das Ergebnis 6*3/32.
>  
> Du bist davon ausgegangen, dass die beiden restlichen
> Anwälte nicht den gleichen Fall bearbeiten könnten. Wäre
> es nicht auch möglich, dass diese beiden Anwälte auch den
> gleichen Fall betreuen könnten, also:
>  
> [mm]P(A) = 6 \cdot (1 \cdot \frac{1}{4}) \cdot (\frac{3}{4})^2 = \frac{27}{32}[/mm]

Also ich fasse die Aufgabenstellung so wie abakus auf, nämlich dass genau ein Fall genau zweimal gewählt wird. In anderer Einkleidung: Es werden vierstellige Zahlen aus den Ziffern 1,2,3 und 4 gebildet und nach der Wkt gefragt, dass genau eie Ziffer doppelt auftritt. Die Einkleidung mit der "mäßigen" Anwaltskanzlei bei der die Anwälte ihre Fälle selbst wählen und u.U. ein Fall mehrfach bearbeitet wird und dafür andere Fälle liegen bleiben ist ja ohnedies ein wenig eigenartig und unglücklich gewählt. Aber was tut man nicht alles um von Urnen und Kugeln wegzukommen.
Wenn du lieber abzählst als Wkten zu multiplizieren kannst du das ja auch so machen: 4 Möglichkeiten um jenen Fall zu wählen, der doppelt auftreten soll. 6 Möglichkeiten, die beiden Anwälte auszusuchen, die jeweils diesen Fall bearbeiten. 3 Möglichkeiten, einem der verbleibenden Anwälte einen (anderen) Fall zuzuweisen und 2 Möglichkeiten, einen bisher nicht gewählten Fall dem letzten Anwalt unterzujubeln. Macht also $|B|=4*6*3*2=144$ und mit [mm] $|\Omega|=4^4=256$ [/mm] ergbit sich dann ebenso das von Abakus genannte Ergebnis. Ich persönlich ziehe aber üblicherweise auch das Ausmultiplizieren der Wkten entlang des "Pfades" vor.

>  
> Bei c) könnte somit [mm]P(C) = \binom{3}{2} \cdot (\frac{2}{3})^4 + \binom{3}{1} \cdot (\frac{1}{3})^4 = \frac{97}{432}[/mm]
> sein.

Da bin ich anderer Meinung  und ich komme auf [mm] $\br{5}{9}$ [/mm] und würde es, wie von dir ursprünglich angedacht, mit der Gegenwahrscheinlichkeit rechnen.
Für das Gegenereignis (alle drei Fälle werden gewählt und eine davon doppelt) kannst du so vorgehen: Verteile erst die drei Fälle auf drei der vier Anwälte und wähle dann einen der drei Fälle für den vierten Anwalt aus. Aber Vorsicht, denn dabei wird jeder Fall doppelt gezählt.
Besser ist möglicherweise ein ähnlicher Ansatz wie bei b): Wähle jenen Fall, der doppelt auftreten soll (3), wähle die beiden Anwälte, die ihn bekommen (6), permutiere die beiden restlichen Fälle (2).


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