Aufgaben zum Poisson Prozess < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:53 Fr 03.02.2017 | | Autor: | Septime |
| Aufgabe | A and B are fighting. Suppose A's attacks (which all hit) represent a Poisson process with intensity [mm] $\lambda [/mm] = 1/6$. B, on the other side, needs 4 seconds to load and launch his attack, but when he's hit, the timer is reset.
a) What is the probability that B attacks first ?
b) Which is the mean length of the time intervals between two A attacks in which B has attacked at least once?
c) After how many seconds on average can B attack for the first time?
d) At the start of the battle, let X be the number of A attacks before the first B attack. Determine the law of X. |
Hallo, hier sind meine Versuche:
a) Sei X die Anzahl der Anküfte von A in $[0,4)$, dann ist X ~ [mm] $Poisson(\mu [/mm] = 4*(1/6) = 2/3)$. Also
$$P(X=0) = [mm] e^{-2/3}=0,5134$$
[/mm]
b) Ich möchte [mm] $P(X\ge [/mm] 1) = 0,5 haben, also gilt [mm] $$P(X\ge [/mm] 1) = 1- P(x=0) [mm] =1-e^{-t/6}=0.5$$
[/mm]
und $t=4,158$ Sekunden. Um ehrlich zu sein bin ich mir sehr unsicher, ob man das so berechnet. Ich habe schon probiert $E(Y=1|X=0)$ zu berechnen, wobei Y die Anzahl der Ankünfte von B ist, aber das Ergebnis macht überhaupt keinen Sinn.
c) Sei [mm] $x_{i} [/mm] $ Ankunftszeit vom letzten Angriff von A. Dann ist die durchschnittliche Zeit, in der B angreift
[mm] $$P(X=0)4+P(X=1)(4+x_{1})+P(X=2)(4+x_{2}) [/mm] + ... = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}P(X=i)(4+x_{i}) [/mm] $$
Aber hier bekomme ich keine Zahl heraus, da ich die Werte der [mm] $x_{i}$ [/mm] nicht kenne.
d) [mm] $$P_{X}=P(X_{1}=0)\delta_{0}+P(X_{1}=1)\delta_{1}+P(X_{1}=1 \wedge X_{2}=1)\delta_{2}+P(X_{1}=1 \wedge X_{2}=1 \wedge X_{3}=1))\delta_{3} [/mm] +... = [mm] 0,51\delta_{1} [/mm] + [mm] 2/3e^{-2/3}\delta_{2} [/mm] + [mm] (2/3e^{-2/3})^2\delta_{3}+ [/mm] ...$$
wobei [mm] $X_{i}$ [/mm] die Anzahl der i-ten Ankunft in [x,x+4) ist, wobei x die Ankunftszeit von [mm] $X_{i-1}$ [/mm] ist . Außerdem habe ich bei der Rechnung benutzt, dass alle [mm] $X_{i}$ [/mm] unabhängig sind.
Ich denke/hoffe a) und d) sind richtig und ich würde mich freuen Tipps für c) / b) zu bekommen.
Gruß Septime
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 Mo 06.02.2017 | | Autor: | huddel |
kleine Frage, bevor ich versuche eine Antwort zu verfassen:
du hast den Threat "Aufgaben zum Poisson Prozess" genannt, jedoch sehe ich nirgends, dass du einen Poisson-Prozess als Modell benutzt. Die b) wird ziemlich einfach, wenn man weiß, wie die Zeiten zwischen zwei Sprüngen eines Poisson-Prozesses verteilt sind, über die c) hab ich mir noch nicht so viel Gedanken gemacht.
LG
der Huddel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 08.02.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
