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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 30.10.2014 | | Autor: | Sykora |
| Aufgabe | | Definieren Sie auf der Menge M := {0, 1, x} mittels einer Wertetabelle zwei Verknüpfungen + und * so, dass (M, +, *) zu einem Körper wird. Wie üblich bezeichne 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation. |
Hallo,
ich weiß nun leider garnichts damit anzufangen.
In der Aufgabe soll man wohl die Körperaxiome beweisen?
Wie ist die Wertetabelle gemeint? Und welche Elemente kommen darin vor? 0, 1, x oder nur 0, 1?
Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> Hallo,
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> ich weiß nun leider garnichts damit anzufangen.
> In der Aufgabe soll man wohl die Körperaxiome beweisen?
Du hast eine Menge mit drei Elementen gegeben und sollst Verknüpfungen + und * so definieren, dass alle Körperaxiome erfüllt sind.
> Wie ist die Wertetabelle gemeint? Und welche Elemente
> kommen darin vor? 0, 1, x oder nur 0, 1?
0,1,x bilden sowohl die Spalten als auch die Zeilen.
Jeder Eintrag entspricht dem Produkt von Zeilen- und Spaltenkopf.
> Für einen Ansatz wäre ich sehr dankbar :)
Du weißt zunächst sicher, dass $a*0=0 [mm] \forall a\in [/mm] K$, was bereits 5 von 9 Feldern der Verknüpfungstabelle für $*$ füllt. Du hast weiterhin die Eigenschaften der neutralen Elemente. Außerdem muss jede Addition umkehrbar sein. Bei Multiplikationen gibt es da eine Einschränkung.
Fülle einfach Stück für Stück die Tabellen, das sollte straight forward funktionieren.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Do 30.10.2014 | | Autor: | Sykora |
Wie würde so eine Tabelle aufgebaut sein? Wir hatten leider kein Beispiel dazu, deshalb habe ich noch keine Vorstellung davon.
+ 0 1 x
0 0 1 x
1 1 2 x+1
x x x+1 2x
* 0 1 x
0 0 0 0
1 0 2 x+1
x 0 x x²
Oder stellt man sich da etwas anderes drunter vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Es gibt kein Element "2" in deiner Menge.
Aber ein Körper erfordert Abgeschlossenheit bezüglich * und +.
Auch x+1 und [mm] x^2 [/mm] musst du explizit angeben.
Außerdem vermute ich, dass der Eintrag "x+1" in der zweiten Tabelle nur ein Tippfehler ist.
Beispiel:
Für x+1 haben wir drei Möglichkeiten:
x+1=0
x+1=1
x+1=x
Nur eine Möglichkeit widerspricht nicht den Körperaxiomen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Do 30.10.2014 | | Autor: | Sykora |
> Es gibt kein Element "2" in deiner Menge.
>
> Aber ein Körper erfordert Abgeschlossenheit bezüglich *
> und +.
Das heißt also, anstelle der 2, x+1 und x² muss entweder 0, 1 oder x stehen?
> Außerdem vermute ich, dass der Eintrag "x+1" in der
> zweiten Tabelle nur ein Tippfehler ist.
Ach, da habe ich wohl * mit + verwechselt. 1*1 ist natürlich 1 und x*1 ist auch x. Da war ich etwas zu schnell..
+ 0 1 x
0 0 1 x
1 1 2 x+1
x x x+1 2x
* 0 1 x
0 0 0 0
1 0 1 x
x 0 x x²
> Beispiel:
> Für x+1 haben wir drei Möglichkeiten:
> x+1=0
> x+1=1
> x+1=x
>
> Nur eine Möglichkeit widerspricht nicht den
> Körperaxiomen.
Ich möchte nun nicht raten..
Aber man könnte ja nach x auflösen.
x+1 = 0 | x=-1
x+1 = 1 | x=0
x+1 = x | 1=0 (Widerspruch)
Daraus würde ich folgern, dass x+1 = 1 ist, denn wir setzen x=0 und 0 ist ein Element der Menge M.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 30.10.2014 | | Autor: | Sykora |
> Es gibt kein Element "2" in deiner Menge.
>
> Aber ein Körper erfordert Abgeschlossenheit bezüglich *
> und +.
Das heißt also, anstelle der 2, x+1 und x² muss entweder 0, 1 oder x stehen?
> Außerdem vermute ich, dass der Eintrag "x+1" in der
> zweiten Tabelle nur ein Tippfehler ist.
Ach, da habe ich wohl * mit + verwechselt. 1*1 ist natürlich 1 und x*1 ist auch x. Da war ich etwas zu schnell..
+ 0 1 x
0 0 1 x
1 1 2 x+1
x x x+1 2x
* 0 1 x
0 0 0 0
1 0 1 x
x 0 x x²
> Beispiel:
> Für x+1 haben wir drei Möglichkeiten:
> x+1=0
> x+1=1
> x+1=x
>
> Nur eine Möglichkeit widerspricht nicht den
> Körperaxiomen.
Ich möchte nun nicht raten..
Aber man könnte ja nach x auflösen.
x+1 = 0 | x=-1
x+1 = 1 | x=0
x+1 = x | 1=0 (Widerspruch)
Daraus würde ich folgern, dass x+1 = 1 ist, denn wir setzen x=0 und 0 ist ein Element der Menge M.
Ich bin etwas durcheinander. Es sollte keine Mitteilung, sondern eine Frage werden. Morgen ist mein erster "Test" an der Uni und bin deshalb etwas im Lernstress..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> > Aber ein Körper erfordert Abgeschlossenheit bezüglich *
> > und +.
>
> Das heißt also, anstelle der 2, x+1 und x² muss entweder
> 0, 1 oder x stehen?
Genau.
> > Außerdem vermute ich, dass der Eintrag "x+1" in der
> > zweiten Tabelle nur ein Tippfehler ist.
>
> Ach, da habe ich wohl * mit + verwechselt. 1*1 ist
> natürlich 1 und x*1 ist auch x. Da war ich etwas zu
> schnell..
Passiert.. Warum sind denn 1*1=1 und x*1=x? Das folgt direkt aus den Körperaxiomen, weil....?
> > Beispiel:
> > Für x+1 haben wir drei Möglichkeiten:
> > x+1=0
> > x+1=1
> > x+1=x
> >
> > Nur eine Möglichkeit widerspricht nicht den
> > Körperaxiomen.
>
> Ich möchte nun nicht raten..
> Aber man könnte ja nach x auflösen.
Es wäre schöner, sich einfach nur die Körperaxiome herzunehmen. Fange am besten mal mit der leichteren Tabelle für * an.
> Daraus würde ich folgern, dass x+1 = 1 ist, denn wir
> setzen x=0 und 0 ist ein Element der Menge M.
Wir setzen nicht x=0, denn x und 0 sind verschiedene Elemente der Menge M.
>
> Ich bin etwas durcheinander. Es sollte keine Mitteilung,
> sondern eine Frage werden. Morgen ist mein erster "Test" an
> der Uni und bin deshalb etwas im Lernstress..
Kommt vor ;)
Viel Erfolg!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Do 30.10.2014 | | Autor: | Sykora |
> Passiert.. Warum sind denn 1*1=1 und x*1=x? Das folgt
> direkt aus den Körperaxiomen, weil....?
1*1=1 Ist das Axiom des neutralen Elements. (1 ist das neutrale Element)
a*1=1*a=a
Also: 1*1=1*1=1 // x*1=1*x=x
Können wir hier also sagen, dass das Axiom des neutralen Elements stimmt?
> Beispiel:
> Für x+1 haben wir drei Möglichkeiten:
> x+1=0
> x+1=1
> x+1=x
>
> Nur eine Möglichkeit widerspricht nicht den
> Körperaxiomen.
>
> Es wäre schöner, sich einfach nur die Körperaxiome
> herzunehmen. Fange am besten mal mit der leichteren Tabelle
> für * an.
Das erste Axiom besagt, dass * assoziativ ist:
Wenn wir nur 2 Elemente aus der Menge M nehmen, weiß ich nicht, wie man es bestimmen kann. Außer man macht es mit 3 Elementen:
(0*1)*x = 0*(1*x)
0 = 0
Das nächste Axiom besagt, dass * kommutativ ist:
1*0=0*1=0 (Das entnehmen wir der Tabelle)
1*x=x*1=x
0*x=x*0=0
Das dritte Axiom ist das neutrale Element (oben beschrieben, kann man auch der Tabelle entnehmen?)
Das vierte Axiom besagt, dass jedes Element ein Inverses besitzt.
Also:
1*(1^-1) = 1
2*(2^-1) = 1
x*(x^-1) = 1
Dies fehlt wohl in der Tabelle.
> > Ich bin etwas durcheinander. Es sollte keine Mitteilung,
> > sondern eine Frage werden. Morgen ist mein erster "Test" an
> > der Uni und bin deshalb etwas im Lernstress..
>
> Kommt vor ;)
> Viel Erfolg!
>
Vielen dank! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> > Passiert.. Warum sind denn 1*1=1 und x*1=x? Das folgt
> > direkt aus den Körperaxiomen, weil....?
>
> 1*1=1 Ist das Axiom des neutralen Elements. (1 ist das
> neutrale Element)
> a*1=1*a=a
> Also: 1*1=1*1=1 // x*1=1*x=x
>
> Können wir hier also sagen, dass das Axiom des neutralen
> Elements stimmt?
Nachdem du deine Verknüpfung entsprechend gewählt hast: ja!
> > Beispiel:
> > Für x+1 haben wir drei Möglichkeiten:
> > x+1=0
> > x+1=1
> > x+1=x
> >
> > Nur eine Möglichkeit widerspricht nicht den
> > Körperaxiomen.
> >
> > Es wäre schöner, sich einfach nur die Körperaxiome
> > herzunehmen. Fange am besten mal mit der leichteren Tabelle
> > für * an.
>
> Das erste Axiom besagt, dass * assoziativ ist:
> Wenn wir nur 2 Elemente aus der Menge M nehmen, weiß ich
> nicht, wie man es bestimmen kann. Außer man macht es mit 3
> Elementen:
> (0*1)*x = 0*(1*x)
> 0 = 0
Ich würde das Assoziativgesetz mal beiseite legen und mich um die inversen kümmern. Für * muss es Inverse von 1 und x geben.
Das muss man an deiner Tabelle erkennen können ;)
> Das nächste Axiom besagt, dass * kommutativ ist:
Das ist durchaus hilfreich, es bedeutet, dass deine Tabelle symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist.
> Das dritte Axiom ist das neutrale Element (oben
> beschrieben, kann man auch der Tabelle entnehmen?)
Jap.
> Das vierte Axiom besagt, dass jedes Element ein Inverses
> besitzt.
> Also:
> 1*(1^-1) = 1
> 2*(2^-1) = 1
> x*(x^-1) = 1
> Dies fehlt wohl in der Tabelle.
Genau. Es muss in Zeile "x" (oder Spalte "x") irgendwo eine 1 stehen.
Die Tabelle für * ist damit vollständig anzugeben.
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 30.10.2014 | | Autor: | Sykora |
So, hier ist mein zweiter versuch:
* 0 1 x
0 0 0 0
1 0 1 x
x 0 x 1
Das x² wird zu einer 1, da x das inverse zu sich selbst ist.
Und laut dem Axiom heißt es x*x^-1 = 1 -> Deshalb die 1
Bei der Verknüpfung mit + müsste (wenn ich mich nicht irre) eine 0 an dieser Stelle sein, denn x+x^-1 = 0 (laut Axiom)
Muss man hier noch etwas Beweisen? In der Aufgabe ist ja nur gefordert, dass man eine Tabelle zu dem Körper erstellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 30.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du aus den 2 Tabellen alle Körperaxiome abgelesen hast, bist du fertig. dazu nichz alles einzeln überpröfen sindern etwa
Inverses der Multiplikation_'in jeder Spalte und Zeile kommt 1 vor, wie das für die + Tabelle? also jedes Kürpergaxiom aus den 2 Tabellen nachweisen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
> So, hier ist mein zweiter versuch:
>
>
> * 0 1 x
>
> 0 0 0 0
>
> 1 0 1 x
>
> x 0 x 1
korrekt.
> Das x² wird zu einer 1, da x das inverse zu sich selbst
> ist.
> Und laut dem Axiom heißt es x*x^-1 = 1 -> Deshalb die 1
>
> Bei der Verknüpfung mit + müsste (wenn ich mich nicht
> irre) eine 0 an dieser Stelle sein, denn x+x^-1 = 0 (laut
> Axiom)
"0 an dieser Stelle", "x+x^-1=0"
Du darfst Multiplikation und Addition nicht gleichsetzen.
Nur weil x multiplikativ zu sich selbst invers ist, gilt das nicht unbedingt für die Addition. (Hier wäre das tatsächlich falsch!)
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> Muss man hier noch etwas Beweisen? In der Aufgabe ist ja
> nur gefordert, dass man eine Tabelle zu dem Körper
> erstellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Do 30.10.2014 | | Autor: | MacMath |
Ah, und 1*1=2 ist wahrscheinlich auch nicht das, was du meintest ;)
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