www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Autom. endlicher zykl. Gruppen
Autom. endlicher zykl. Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Autom. endlicher zykl. Gruppen: Struktur von Aut(G)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Do 24.03.2016
Autor: Marcel

Aufgabe
Ist $G=<a>$ eine ENDLICHE, ZYKLISCHE Gruppe der Ordnung n, so ist Aut(G) isomorph zu [mm] $\IZ_n^\times$. [/mm]


Hallo,

ich dachte eigentlich, dass ich den Beweis dazu verstehe/verstanden hätte.
Man definiert

    [mm] $\psi \colon \IZ_n^\times \to \text{Aut}(G)$ [/mm] mit [mm] $\psi(\overline{k}):=\phi_k$ [/mm]

mit [mm] $\phi_k(g):=g^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in [/mm] G$

und zeigt, dass [mm] $\psi$ [/mm]

    1. wohldefiniert
    2. a) injektiv und b) surjektiv

sowie

    3. ein Monomorphismus

ist.

In merkwürdiger Weise bin ich aber bei 3. verwirrt: In dem Buch (Algebra, von
Meyberg und Karphinger) wird immer für

    $f,g [mm] \colon [/mm] G [mm] \to [/mm] G$

dann

    $fg$ anstatt $f [mm] \circ [/mm] g$

verwendet.

Ich dachte, in obigem Satz ist [mm] $\text{Aut}(G)$ [/mm] auch mit [mm] $\circ$ [/mm] versehen?

Beim Beweis dieses Satzes wird aber

    [mm] $\psi(\overline{k}+\overline{\ell})=\psi(\overline{k+\ell})=\phi_{k+\ell}=\phi_k \phi_\ell$ [/mm]

benutzt. Nun ist aber

    [mm] $\phi_k \circ \phi_\ell=\phi_{k * \ell}$ [/mm]

Ist da vielleicht ein Fehler im Buch, dass gar nicht

    [mm] $\psi(\overline{k}\red{+}\overline{\ell})=\psi(\overline{k})\psi(\overline{\ell})$ [/mm]

gemeint ist, sondern

    [mm] $\psi(\overline{k} \cdot \overline{\ell})=\psi(\overline{k})\psi(\overline{\ell})$? [/mm]

Also ist [mm] $(\text{Aut}(G),\circ)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ_n^\times, \cdot)$? [/mm] Das Plus bei
[mm] $\IZ_n^\times$ [/mm] verwirrt mich nämlich...

Gruß,
  Marcel



        
Bezug
Autom. endlicher zykl. Gruppen: Antwort (nicht fertig)
Status: (Antwort) noch nicht fertig Status 
Datum: 21:17 Do 24.03.2016
Autor: UniversellesObjekt

Es stimmt natürlich, dass [mm] $(\IZ/n)^\times$ [/mm] mit Multiplikation ausgestattet sein sollte.

Übrigens ist aus allgemeinen Gründen [mm] $\operatorname{End}_\IZ(\IZ/n)= \operatorname{End}_{\IZ/n}(\IZ/n)\cong \IZ/n$ [/mm] als Ringe. Übergang zu den Einheitengruppen liefert die Behauptung.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Autom. endlicher zykl. Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:29 Do 24.03.2016
Autor: Marcel

Hallo,

> Es stimmt natürlich, dass [mm](\IZ/n)^\times[/mm] mit
> Multiplikation ausgestattet sein sollte.


dann sollte dort auch

    [mm] $\psi(\overline{k}\cdot \overline{\ell})=...=\phi_{k\;\cdot\;\ell}$ [/mm]

gerechnet werden. Die schreiben sowas wie

    [mm] $\psi(\overline{k}\red{+} \overline{\ell})=...=\phi_{k\;\red{+}\;\ell}=\phi_k \phi_\ell$ [/mm]

Ich hatte sogar zunächst selbst einfach

    [mm] $\phi_k(g)\phi_\ell(g)=g^kg^\ell=g^{k+\ell}=\phi_{k+\ell}$ [/mm]

gerechnet. Aber danach war ich verwirrt, weil doch auf Aut(G) gar nicht [mm] $\cdot$ [/mm]
als "Multiplikation" (von Funktionswerten), sondern als Verknüpfung aufgefasst
wird; entsprechend ist

    [mm] $\phi_k \phi_\ell=\phi_{k * \ell}$, [/mm]

da

    [mm] $(\phi_k \circ \phi_\ell)(g)=\phi_k(g^\ell)=(g^\ell)^k=g^{\ell*k}$. [/mm]


Wenigstens war die Verwirrung konsequent. ;-)

Also vielleicht kann man den Autoren ja mal mitteilen, dass dort

    [mm] $\psi(\overline{k}\cdot \overline{\ell})=...=\phi_{k\;\cdot\;\ell}=\phi_k \circ \phi_\ell$ [/mm]

nachgerechnet werden sollte. ;)

> Übrigens ist aus allgemeinen Gründen
> [mm]\operatorname{End}_\IZ(\IZ/n)= \operatorname{End}_{\IZ/n}(\IZ/n)\cong \IZ/n[/mm]
> als Ringe. Übergang zu den Einheitengruppen liefert die
> Behauptung.

Ein anderes Mal denke ich vielleicht über sowas nach. Obiges reicht mir
gerade ;)
Dennoch auch Danke dafür. :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de