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Forum "Maschinenbau" - Banach'scher Fixpunktsatz
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Banach'scher Fixpunktsatz: Lipschitz-Stetigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Sa 03.12.2016
Autor: ElDon91

Aufgabe
Zeigen Sie, dass [mm] f(x)=\bruch{1}{3}cos^2(x)e^{-x} [/mm] genau einen Fixpunkt auf [mm] \IR_{\ge 0} [/mm] besitzt





Guten Tag,

ich habe Probleme mit dem Banach'schen Fixpunktsatz.
Ich habe zu oben genannter Aufgabe eine Musterlösung, verstehe die Vorgehensweise aber nicht, was es verhindert, dass ich ähnliche Aufgaben lösen kann

Die Lösung:
"(i) Sei D = [0,N] ; N [mm] \el\ \IN, [/mm] ein abgeschlossenes Intervall in [mm] \IR." [/mm]
-> kein Problem, ist klar, damit ist der erste Punkt (abgeschlossen) erfüllt

"Es gilt [mm] \forall\ [/mm] x [mm] \in [/mm] D: [mm] 0<=f(x)=\bruch{1}{3}cos^2(x)e^{-x}<=\bruch{1}{3} [/mm] * 1 *1 <=N => [mm] f(D)\subset\ [/mm] D"
-> auch klar, sofern die erste 1= max(cos(x))=cos(0) und die zweite [mm] 1=1/e^0=1; [/mm] das ist ja dann die Selbstabbildung (korrekt?)


"Bestimme nun ein [mm] \lambda [/mm] < 1, sodass |(f'(x)| <= [mm] \lambda" [/mm]
-> auch klar, ist ja Ziel der Lipschitz-Stetigkeit und somit Unterpunkt für den B-FPS


[mm] "|(f'(x)|=|\bruch{1}{3}cos(x)e^{-x}(-2sin(x)-cos(x))|<=\bruch{1}{3}*1*\bruch{1}{e} [/mm] |(2sin(x)+cos(x)| <= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] *0,4*3 <=0,4 [mm] \forall\ [/mm] x[1,N]"
-> Hier gehts schon los
-Nach dem ersten <=: [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist klar. Wieso nehm ich noch ein *1 mit? ist das max(cos(x))=cos(0)? Falls ja, wieso nehme ich dann nicht [mm] \bruch{1}{e^{-x}}=\bruch{1}{e}=1? [/mm]
nach dem zweiten <=: [mm] 0,4~=\bruch{1}{e}, [/mm] korrekt? Woher kommt nun die 3? Nehme ich für diese Ungleichung an, dass 3=2*max(sin(x))+max(cos(x))?
Und nun noch das Intervall: ist dies nun von [1,N], da sin(0)=0 und damit nicht zweckdienlich für uns wäre?


In der Lösung wird zusätzlich noch das Maximum von [mm] \bruch{2sin(x)+cos(x))}{e^x} [/mm] im Intervall [0,1] bestimmt.
Wird dies bestimmt, um das Intervall weiter (und für die a priori Abschätzung dienlicher) zu verkleinern?

Ich hoffe, Sie können meine Fragen verstehen und mir weiterhelfen, da ich leider zu doof bin, selbst dahinter zu kommen

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:[]nur brennt mir die Antwort unter den Nägeln

        
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Sa 03.12.2016
Autor: hippias

[willkommenmr]

> Zeigen Sie, dass [mm]f(x)=\bruch{1}{3}cos^2(x)e^{-x}[/mm] genau
> einen Fixpunkt auf [mm]\IR_{\ge 0}[/mm] besitzt
>  
>
>
>
> Guten Tag,
>  
> ich habe Probleme mit dem Banach'schen Fixpunktsatz.
> Ich habe zu oben genannter Aufgabe eine Musterlösung,
> verstehe die Vorgehensweise aber nicht, was es verhindert,
> dass ich ähnliche Aufgaben lösen kann
>  
> Die Lösung:
>  "(i) Sei D = [0,N] ; N [mm]\el\ \IN,[/mm] ein abgeschlossenes
> Intervall in [mm]\IR."[/mm]
>  -> kein Problem, ist klar, damit ist der erste Punkt

> (abgeschlossen) erfüllt
>  
> "Es gilt [mm]\forall\[/mm] x [mm]\in[/mm] D:
> [mm]0<=f(x)=\bruch{1}{3}cos^2(x)e^{-x}<=\bruch{1}{3}[/mm] * 1 *1 <=N
> => [mm]f(D)\subset\[/mm] D"
>  -> auch klar, sofern die erste 1= max(cos(x))=cos(0) und

> die zweite [mm]1=1/e^0=1;[/mm] das ist ja dann die Selbstabbildung
> (korrekt?)

Ja.

>  
>
> "Bestimme nun ein [mm]\lambda[/mm] < 1, sodass |(f'(x)| <= [mm]\lambda"[/mm]
>  -> auch klar, ist ja Ziel der Lipschitz-Stetigkeit und

> somit Unterpunkt für den B-FPS
>  
>
> [mm]"|(f'(x)|=|\bruch{1}{3}cos(x)e^{-x}(-2sin(x)-cos(x))|<=\bruch{1}{3}*1*\bruch{1}{e}[/mm]
> |(2sin(x)+cos(x)| <= [mm]\bruch{1}{3}[/mm] *0,4*3 <=0,4 [mm]\forall\[/mm]
> x[1,N]"
>  -> Hier gehts schon los

>  -Nach dem ersten <=: [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ist klar. Wieso nehm ich
> noch ein *1 mit? ist das max(cos(x))=cos(0)?

Vermutlich ja.

> Falls ja,
> wieso nehme ich dann nicht
> [mm]\bruch{1}{e^{-x}}=\bruch{1}{e}=1?[/mm]
>  nach dem zweiten <=: [mm]0,4~=\bruch{1}{e},[/mm] korrekt?

Vermutlich ja.

> Woher
> kommt nun die 3? Nehme ich für diese Ungleichung an, dass
> 3=2*max(sin(x))+max(cos(x))?

Vermutlich ja.

>  Und nun noch das Intervall: ist dies nun von [1,N], da
> sin(0)=0 und damit nicht zweckdienlich für uns wäre?

Im Intervall $[0,1]$ funktioniert die obige Abschätzung nicht: es ist zwar weiterhin [mm] $|\cos(x)|\leq [/mm] 1$ und [mm] $|2*\sin(x)+\cos(x)|\leq [/mm] 3$, aber [mm] $\frac{1}{e^{x}}\leq [/mm] 1$, sodass [mm] $|f'(x)|\leq [/mm] 1$, aber nicht $<1$ folgte.

>  
>
> In der Lösung wird zusätzlich noch das Maximum von
> [mm]\bruch{2sin(x)+cos(x))}{e^x}[/mm] im Intervall [0,1] bestimmt.
> Wird dies bestimmt, um das Intervall weiter (und für die a
> priori Abschätzung dienlicher) zu verkleinern?

Diese Untersuchung ist notwendig, da eine Abschätzung von $f'$ für das gesamte Intervall benötigt wird.

>  
> Ich hoffe, Sie können meine Fragen verstehen und mir
> weiterhelfen, da ich leider zu doof bin, selbst dahinter zu
> kommen
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:[]nur brennt mir die Antwort unter den Nägeln


Bezug
                
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Sa 03.12.2016
Autor: ElDon91

aber wie gesagt: wenn ich 1=max(cos(x))=cos(0) nehme, wieso nehme ich dann nicht [mm] 1=max(e^-x)=e^0 [/mm] an? wieso schreibe ich [mm] \bruch{1}{e} [/mm]


Edit: Ah, das ist wegen [1,N], korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 So 04.12.2016
Autor: hippias

Vermutlich ja: deine Texte sind nicht immer leicht zu verstehen.

Bezug
        
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:50 So 04.12.2016
Autor: HJKweseleit

Problematisch an der Aufgabe ist folgendes:

Du zeigst, das f(x)<1/3 ist, unabhängig von x. Das bedeutet, dass der Fixpunkt auf jeden Fall in [0|1/3] liegen muss, was auch der Fall ist. Dann spielt aber die Betrachtung für das Verhalten von f'(x) außerhalb dieses Intervalles, nämlich für [1|N], überhaupt keine Rolle!!! Das beweist dann gar nichts.

Bezug
                
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:12 So 04.12.2016
Autor: hippias

Dein Einwand ist berechtigt, aber eine Untersuchung der Funktion im Interval $[0,1]$ wird ja auch noch durchgeführt.

Bezug
                        
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:56 Mo 05.12.2016
Autor: HJKweseleit

Ja klar, aber was soll die Betrachtung von f' in einem Intervall, das von vornherein als irrelevant erkennbar ist?

Bezug
                                
Bezug
Banach'scher Fixpunktsatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:52 Di 06.12.2016
Autor: hippias

Für mich lag der Sinn dieses Fadens darin, das Abschätzen zu üben; was sich der Autor der Musterlösung dabei gedacht haben mag, kann ich nicht sagen. Ich bin auch davon ausgegangen, dass wir vielleicht nicht die komplette Aufgabenstellung bzw. Lösung besprechen.


Bezug
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