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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basis von Vektorräumen
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Basis von Vektorräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Mi 10.01.2018
Autor: Tobikall

Aufgabe
Es seien K ein Körper und V,W Vektorräume über K. Auf V xW seien + : (V xW)× (V xW) → V xW und · : K x(V xW) → V xW definiert durch
(v1,w1) + (v2,w2) = (v1 + v2,w1 + w2),
α·(v1,w1) = (α·v1,α·w1)
für (v1,w1),(v2,w2) ∈ V ×W und α ∈ K.

Aufgabe:
Es seien m,n ∈ N und x1,...,xn eine Basis von V sowie y1,...,ym eine Basis von W. Zeigen Sie, dass
(x1,0),...,(xn,0),(0,y1),...,(0,ym) eine Basis von V ×W ist.

Hallo,
bei dem Beweis komm ich nicht weiter. Man kann doch mit dem Basisergänzugnssatz und der linearen Unabhängigkeit der einzelnen Vektoren hier argumentieren, nur mit der Verknüpfung von V und W weiß ich nicht wie man das zeigen soll? Hilfe!

        
Bezug
Basis von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 10.01.2018
Autor: fred97


> Es seien K ein Körper und V,W Vektorräume über K. Auf V
> xW seien + : (V xW)× (V xW) → V xW und · : K x(V xW)
> → V xW definiert durch
> (v1,w1) + (v2,w2) = (v1 + v2,w1 + w2),
> α·(v1,w1) = (α·v1,α·w1)
> für (v1,w1),(v2,w2) ∈ V ×W und α ∈ K.
>
> Aufgabe:
>   Es seien m,n ∈ N und x1,...,xn eine Basis von V sowie
> y1,...,ym eine Basis von W. Zeigen Sie, dass
>  (x1,0),...,(xn,0),(0,y1),...,(0,ym) eine Basis von V ×W
> ist.
>  Hallo,
>  bei dem Beweis komm ich nicht weiter. Man kann doch mit
> dem Basisergänzugnssatz und der linearen Unabhängigkeit
> der einzelnen Vektoren hier argumentieren, nur mit der
> Verknüpfung von V und W weiß ich nicht wie man das zeigen
> soll? Hilfe!


Zeige es direkt !

Sei [mm] b_1=(x_1,0),...,b_n=(x_n,0) [/mm] und [mm] c_1=(0,y_1),...,c_m=(0,y_m). [/mm]

Zeige:

1. Jedes $(v,w) [mm] \in [/mm] V [mm] \times [/mm] W$ läst sich als Linearkombination der Vektoren [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m$ [/mm] darstellen.

Dann ist  [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m$ [/mm] ein Erzeugendensystem von $ V [mm] \times [/mm] W$.

2. die Vektoren [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m$ [/mm] sind linear unabhängig sind.

Bezug
                
Bezug
Basis von Vektorräumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 10.01.2018
Autor: Tobikall

Ok danke schonmal nur liegt hier genau mein Problem :(.
Ich bin mir unsicher wie ich genau den Beweis notieren kann und soll, wenn du mir evtl. nur den Ansatz gibts, sodass ich weitermachen kann wäre das super.

Bezug
                        
Bezug
Basis von Vektorräumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Mi 10.01.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ok danke schonmal nur liegt hier genau mein Problem :(.
>  Ich bin mir unsicher wie ich genau den Beweis notieren
> kann und soll, wenn du mir evtl. nur den Ansatz gibts,
> sodass ich weitermachen kann wäre das super.

fred hat doch eigentlich bereits alles hingeschrieben…

Zeige: $(v,w)$ lässt sich als Linearkombination schreiben von [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m [/mm] $

1.) Es ist $(v,w) = (v,0) + (0,w)$.

2.) Nun ist $v [mm] \in [/mm] V$ und [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] eine Basis von V, daher lässt sich v schreiben als $v = [mm] \ldots$ [/mm] und damit $(v,0) = [mm] (\ldots,0) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] (hier sollte eine Linearkombination der [mm] $b_i$'s [/mm] stehen).

3.) Nun ist $w [mm] \in [/mm] W$ und [mm] $y_1,\ldots,y_n$ [/mm] eine Basis von W, daher lässt sich w schreiben als $w = [mm] \ldots$ [/mm] und damit $(0,w) = [mm] (0,\ldots) [/mm] = [mm] \ldots$ [/mm] (hier sollte eine Linearkombination der [mm] $c_i$'s [/mm] stehen).

4.) Aus 1.) 2.) und 3.) folgt dann (v,w) = [mm] \ldots [/mm] (hier steht dann eine Linearkombination von [mm] $b_1,...,b_n,c_1,...c_m [/mm] $)

Für die lineare Unabhängigkeit nenne erst mal die Definition davon, dann sehen wir weiter.

Gruß,
Gono





Bezug
                                
Bezug
Basis von Vektorräumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 Mi 10.01.2018
Autor: Tobikall

Danke für die Hilfe es hat geklappt und ich habe die Aufgabe gelöst!

Bezug
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