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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Bedingter Erwartungswert
Bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bedingter Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 So 10.08.2014
Autor: petapahn

Aufgabe
Sei [mm] \Omega=[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}], \mathcal{F}=\mathcal{B}([-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]), [/mm] P sei das Lebesgue-Maß. Seien X,Y Zufallsvariablen mit [mm] X(\omega)=\omega^2 [/mm] und [mm] Y(\omega)=\omega^3 [/mm]
Berechne E[X|Y] und E[Y|X]

Hallo,

ich habe ein paar Verständnisprobleme, darum werde ich jetzt einfach weiter ausholen.

Es gilt offensichtlich: X: [mm] \Omega \to [0,\bruch{1}{4}] [/mm] und Y: [mm] \Omega \to [-\bruch{1}{8}, \bruch{1}{8}] [/mm]

Nach Definition des bed. Erwartungswerts ist [mm] E[X|Y]=\bruch{E[X*1_{Y}]}{P(Y\le y)} [/mm] = [mm] \bruch{\integral_{-\infty}^{\infty}{\omega^2*1_{[0,\bruch{1}{4}]}(\omega^2)*1_{[-\bruch{1}{8},\bruch{1}{8}]}(\omega^2) d\omega}}{(\bruch{1}{8}+y)*1_{[-\bruch{1}{8},\bruch{1}{8}]}(y) + \bruch{1}{4}*1_{(\bruch{1}{8},\infty)}(y)} [/mm]


Alternativ könnte man E[X|Y] bestimmen, indem man [mm] P(X\le x|Y\le y)=\bruch{P(X\le x, Y\le y)}{P(Y\le y}) [/mm] berechnet.
Doch ich scheitere an der Berechnung von [mm] P(X\le [/mm] x, [mm] Y\le [/mm] y), denn ich hätte folgenden Ansatz genommen:

[mm] P(X\le [/mm] x, [mm] Y\le y)=P(\omega^2\le [/mm] x, [mm] \omega^3\le y)=P(\omega\le min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y}))= \integral_{-\infty}^{min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y})}{1_{[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]}(z) dz}= \integral_{-\bruch{1}{2}}^{min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y},\bruch{1}{2})}{dz} [/mm]

Dann komm ich nicht mehr weiter. Wahrscheinlich ist das auch alles total falsch oder umständlich. Bitte um Hilfe.

LG, petapahn


        
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 So 10.08.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Nach Definition des bed. Erwartungswerts ist
> [mm]E[X|Y]=\bruch{E[X*1_{Y}]}{P(Y\le y)}[/mm]

Wo hast du das her? Was soll [mm] 1_Y [/mm] überhaupt sein? Ich wüsste nicht, wie die Indikatorfunktion einer Zufallsvariablen definiert sein sollte. Kannst du ja mal nachliefern, ob das bei Euch Sinn macht.


> Alternativ könnte man E[X|Y] bestimmen, indem man [mm]P(X\le x|Y\le y)=\bruch{P(X\le x, Y\le y)}{P(Y\le y})[/mm] berechnet.

Ja.
  

> [mm]P(X\le[/mm] x, [mm]Y\le y)=P(\omega^2\le[/mm] x, [mm][mm] \omega^3\le y)=P(\omega\le min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y})) [/mm]

Das letzte Gleichheitszeichen ist falsch, du verwendest da ja [mm] $\omega^2 \le [/mm] x [mm] \gdw \omega \le \sqrt{x}$, [/mm] was offensichtlich nicht stimmt.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:02 So 10.08.2014
Autor: petapahn

Hallo Gono,

Oh in meinem Skript steht: Sei X Zufallsvariable, A [mm] \in \mathcal{F} [/mm] mit P(A)>0, dann gilt: [mm] E[X|A]=\bruch{E[X*1_{A}]}{P(A)}, [/mm] wobei [mm] 1_{A} [/mm] charakteristische Funktion von A ist.

Also müsste es hier wohl eher heißen:
[mm] E[X|Y\le y]=\bruch{E[X*1_{Y\le y}]}{P(Y\le y)} [/mm]
  

>    
>  [mm]P(X\le[/mm] x, [mm]Y\le y)=P(\omega^2\le[/mm] x, [mm][mm]\omega^3\le y)=P(\omega\le min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y}))[/mm]

>>Das letzte Gleichheitszeichen ist falsch, du verwendest da ja [mm]\omega^2 \le x \gdw \omega \le \sqrt{x}[/mm], was offensichtlich nicht stimmt.
>>

Also müsste es dann heißen:
[mm]P(X\le[/mm] x, [mm]Y\le y)=P(\omega^2\le[/mm] x, [mm]\omega^3\le y)=P(-\sqrt{x} \le \omega\le min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y}))[/mm][mm] =\integral_{-\sqrt{x}}^{min(\sqrt{x},\wurzel[3]{y})}{1_{[-\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}]}(z) dz} [/mm] ?

LG, petapahn


Bezug
                        
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 12.08.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:56 So 17.08.2014
Autor: petapahn

Hallo,
Kann mir vllt jemand einen Tipp geben wie man hier [mm] P(X\le [/mm] x, [mm] Y\le [/mm] y) bzw. ob mein bisheriger Ansatz richtig oder falsch war?
LG petapahn

Bezug
                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:52 So 17.08.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich bin aktuell im Urlaub bis nächste Woche, daher auch die fehlende Antwort. Vielleicht findet sich bis dahin jemand anderes, oder du musst dich gedulden.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mo 25.08.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Di 02.09.2014
Autor: petapahn

Die Frage hat sich nun erledigt. Ich habe die Lösung auf anderem Wege herausgefunden. Trotzdem danke für die Bemühungen!

LG, petapahn

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