Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Di 25.07.2017 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Beschränktheit nach oben, Beschränktheit nach unten und nach Beschränktheit.
a) ...
b) ...
c) [mm] c_{n}=\bruch{n^{2}}{n-0,5}
[/mm]
d) ...
e) ... |
[mm] c_{n}=\bruch{n^{2}}{n-0,5}
[/mm]
Mein Ansatz wäre folgender:
n [mm] \in \IN. [/mm] Demnach n [mm] \ge [/mm] 1.
[mm] c_{1} [/mm] = 2;
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{8}{3}
[/mm]
[mm] c_{3} [/mm] = [mm] \bruch{18}{5}
[/mm]
...
[mm] c_{1} [/mm] < [mm] c_{2} [/mm] < [mm] c_{3} [/mm] < ...
-> Das kleinstmögliche Folgenglied ist demnach [mm] c_{1}.
[/mm]
[mm] c_{1} [/mm] = 2; demnach ist [mm] c_{n} [/mm] nach unten durch 2 beschränkt.
In der Lösung steht hier, dass die Folge durch 0 beschränkt ist, was ich nicht ganz nachvollziehen kann..
Beschränktheit nach oben:
[mm] c_{n}=\bruch{n^{2}}{n-0,5}
[/mm]
n wird im Zähler quadriert, im Nenner nicht. Daher steigt der Zähler um ein vielfaches schneller an. -> Nach oben unbeschränkt.
Da nach oben unbeschränkt, nicht beschränkt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Di 25.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo sae0693!
Nun eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] heißt definitionsgemäß nach unten beschränkt genau dann, wenn es eine Konstante K [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass
[mm] a_{n} \ge [/mm] K für alle n.
Im Folgenden meine ich mit n [mm] \in \IN [/mm] die natürlichen Zahlen ohne die "0", also n = 1, 2, 3, ...
Nun, da anscheinend [mm] a_{n} \ge [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN, [/mm] so gilt erst recht [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle n und K = 0 leistet somit das Gewünschte.
Natürlich ist es bis dato nur eine Vermutung, dass [mm] a_{n} \ge [/mm] 2 für alle n [mm] \in \IN [/mm]  Dies gilt es zu beweisen, bzw. die einfachere, da besser abschätzbare Ungleichung [mm] a_{n} \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Es ist also für die untere Beschränktheit zu zeigen, dass [mm] \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Bekommst du das hin?
Zur oberen Beschränktheit: Es ist [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \frac{n}{1-\frac{1}{2n}}
[/mm]
Nun ist [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{1-\frac{1}{2n}} [/mm] = [mm] \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} n}{\lim_{n\rightarrow\infty}1-\frac{1}{2n}} [/mm] = [mm] \frac{\lim_{n\rightarrow\infty} n}{1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Hierbei habe ich die Grenzwertsätze und die Erweiterung mit [mm] \frac{1}{n} [/mm] genutzt.
Wegen [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \infty [/mm] divergiert [mm] (a_{n}) [/mm] bestimmt gegen [mm] +\infty. [/mm] Dies ist aber gemäß Definition für eine Folge [mm] (a_{n}) [/mm] genau dann der Fall, wenn zu jedem K [mm] \in \IR [/mm] ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, so dass
[mm] a_{n} [/mm] > K für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Somit gibt es kein K mit [mm] a_{n} \le [/mm] K für alle n. Also ist die Folge nach oben unbeschränkt.
Viele Grüße,
X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Di 25.07.2017 | | Autor: | sae0693 |
> Es ist also für die untere Beschränktheit zu zeigen, dass
> [mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Bekommst du das hin?
Würde ich so machen:
[mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 // Rechte Seite mit (n-1/2) multiplizieren.
[mm] n^{2} \ge [/mm] 0
n² ist immer größer 0, da n [mm] \ge [/mm] 1.
Zum Rest: Danke für die Erklärung. Das kommt im Studienheft im nächsten Kapitel 
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Hallo,
> > Es ist also für die untere Beschränktheit zu zeigen, dass
> > [mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
> >
>
> > Bekommst du das hin?
>
>
> Würde ich so machen:
> [mm]\frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge[/mm] 0 // Rechte Seite mit
> (n-1/2) multiplizieren.
>
> [mm]n^{2} \ge[/mm] 0
>
> n² ist immer größer 0, da n [mm]\ge[/mm] 1.
>
Diese Erklärung benötigst du m.M. nach hier vor allem auch für die Multiplikation mit n-0.5. Das muss ja positiv sein und ist es eben auch wegen [mm] n\ge{1}.
[/mm]
Ansonsten passt es.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:25 Mi 26.07.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo sae0693,
kurz noch zum Fall [mm] \frac{n^{2}}{n-\frac{1}{2}} \ge [/mm] 2.
Es folgt aus n [mm] \ge [/mm] 1, dass [mm] n-\frac{1}{2} [/mm] > 0 und somit
[mm] \frac{n^{2}}{n-0.5} \ge [/mm] 2 <=> [mm] n^{2} \ge [/mm] 2n - 1 <=> [mm] n^{2} [/mm] -2n + 1 [mm] \ge [/mm] 0 <=> [mm] (n-1)^{2} \ge [/mm] 0.
Dies ist offensichtlich für alle n [mm] \ge [/mm] 1 der Fall, somit ergibt sich die Behauptung.
Viele Grüße,
X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mi 26.07.2017 | | Autor: | sae0693 |
Kann ich grundsätzlich nachvollziehen. Die Beschränktheit bei 2 anzugeben ist jedoch auch in Ordnung, oder?
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Hallo,
> Kann ich grundsätzlich nachvollziehen. Die Beschränktheit
> bei 2 anzugeben ist jedoch auch in Ordnung, oder?
wie schon gesagt wurde: wenn es nur um Beschränktheit nach unten geht taugt jede untere Schranke. Du könntest also auch [mm] -157
Anders sieht es aus, wenn die Aufgabenstellung fordert die Beschränkheit durch einen bestimmten Wert nachzuweisen, aber das ist dir ja auch klar.
Gruß, Diophant
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