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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Bestimmung 2 rationaler Zahlen
Bestimmung 2 rationaler Zahlen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:36 So 06.11.2016
Autor: RobKobin

Hallo,

Ich stehe vor folgendem Problem:

Für ein zu programmierendes Spiel versuche ich möglichst alles im Spiel auf technischer Ebene auf rationalen zahlen basiert. Das erleichtert für mich die Umsetzung.

Derzeit suche ich zwei rationale Zahlen a und b. Dazu folgende Bedingungen:

[mm]b/a \approx tan(60^\circ)[/mm]
[mm]a^2+b^2=c^2[/mm]
[mm]c=0,91625[/mm]
[mm]\wurzel{(c-b)*19,62}[/mm] ∈ [mm] \IQ [/mm]

Das ganze darf ruhig sehr genau werden, Zähler und Nenner können um die 7 Stellen haben. Mir reicht aber auch schon ein Ansatz/Weg womit ich selbst rumprobieren kann. Ich hab nach etwas suchen schon die Möglichkeit des Pythagoreisches Tripel gefunden um a und b zu bestimmen, aber zusammen mit der letzten Bedingung hilft mir das noch nicht weiter.

Meine Idee wäre hierbei die Funktionen zur Erzeugung des Pythagoreisches Tripels...

u, v ∈ [mm] \IN, [/mm] u > v
[mm]a=u^2-v^2[/mm]
[mm]b=2uv[/mm]
[mm]c=u^2+v^2[/mm]

...in die letzte Bedingung einzufügen:

[mm]\wurzel{((u^2+v^2)-2uv)*19,62}[/mm]

Ich füg sowas gerne in Wolfram Alpha ein um mir alternative equivalente Terme anzeigen zu lassen. So zeigt es mir hier an dass der letzter Term equivalent ist zu:

[mm]\wurzel{19,62}*\wurzel{(u-v)^2}[/mm]

Ich weiß jetzt nicht ob [mm] \wurzel{19,62} [/mm] rational ist, aber wenn nicht, was muss dann [mm] \wurzel{(u-v)^2} [/mm] sein damit der Term rational ist? Kann man eine irrationale Wurzel nur mit sich selbst multiplitzieren um eine rationale Zahl zu erhalten? Das würde mir ein Kreuz durch die Rechnung machen. Es sei denn ich passe die Zahl 19,62 an, damit die Wurzel rational ist, was ich nur ungerne täte da dies eine wichtige Konstante in meinem Spiel darstellt...

        
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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:38 Mo 07.11.2016
Autor: hippias

Ich verstehe Dein Problem nicht so richtig: [mm] $\sqrt{19,62}$ [/mm] ist nicht rational, aber Dein Rechner wird diese Zahl doch sowieso runden, sodass Du sofort eine rationale Näherung für diese Zahl frei Haus erhälst: [mm] $\sqrt{19,62}\approx [/mm] 4,429447= [mm] \frac{4429447}{1000000}$. [/mm]

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:35 Mo 07.11.2016
Autor: RobKobin

Wenn ich jedem Rechner auf dem das Spiel läuft überlasse die Zahl zu runden, so mache ich mir sorgen dass dies eine Fehlerquelle sein kann was nur schwer zu fixen wäre. Außerdem mutmaße ich dass exakte Ausdrücke ein synchrones Online-System erleichtert da ein Server aus den Eingaben des Users genau die Ergebnisse im Spiel erzeugt die im Client auch geschehen.

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mo 07.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Hallo,

>

> Ich stehe vor folgendem Problem:

>

> Für ein zu programmierendes Spiel versuche ich möglichst
> alles im Spiel auf technischer Ebene auf rationalen zahlen
> basiert. Das erleichtert für mich die Umsetzung.

>

> Derzeit suche ich zwei rationale Zahlen a und b. Dazu
> folgende Bedingungen:

>

> [mm]b/a \approx tan(60^\circ)[/mm]
> [mm]a^2+b^2=c^2[/mm]
> [mm]c=0,91625[/mm]
> [mm]\wurzel{(c-b)*19,62}[/mm] ∈ [mm]\IQ[/mm]

>

> Das ganze darf ruhig sehr genau werden,

Dann nutze doch, dass [mm] tan(60^{circ})=\sqrt{3} [/mm]

Außerdem ist
[mm] \sqrt{19,62}=\sqrt{\frac{1962}{1000}}=\frac{3\cdot\sqrt{218}}{10} [/mm]

Und es ist [mm] 218=2\cdot109 [/mm] (Primfaktorzerlegung)

Hilft das schonmal weiter?

Marius

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Mo 07.11.2016
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\wurzel{19,62}*\wurzel{(u-v)^2}[/mm]

ob Dir das irgendwie hilft, weiß ich nicht, aber bekanntlich gilt [mm] $\sqrt{(u-v)^2}=|u-v|$. [/mm]

Vielleicht würde es helfen, wenn Du ein wenig konreter wirst, wo das Ganze
da eigentlich her kommt. Die [mm] $\sqrt{19.62}$ [/mm] erscheint doch sehr magisch, und
unabhängig davon gibt es schöne analytische Wege, um Wurzeln sehr gut
rational anzunähern ("Babylonisches Wurzelziehen" bspw..)

Btw. Es gilt [mm] $\sqrt{19,62} \in \IQ$ $\gdw$ $\sqrt{1962/100}=\sqrt{1962}/10 \in \IQ$ $\iff$ $\sqrt{1962} \in \IQ$. [/mm]

Aber [mm] $\sqrt{1962} \notin \IQ$, [/mm] weil...

P.S. Dass [mm] $u^2+v^2-2uv=u^2-2uv+v^2=(u-v)^2$ [/mm] ist (2. bin. Formel), sollte man
eigentlich auch ohne Wolfram Alpha sehen. Sowas hatte ich in meiner
Schulzeit bis zum Erbrechen üben müssen. :P

Und die Terme sind auch nicht einander äquivalent - sondern sie sind
gleich.

Gruß
  Marcel

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Mo 07.11.2016
Autor: RobKobin

Danke für den Input!

Das mit den Betragsstrichen ist mir tatsächlich nicht aufgefallen! Aber in der Form hat sich noch etwas geändert was ich gleich in einer gesonderten Mitteilung in dem Thema schreiben werde.

Die [mm] \wurzel{19,62} [/mm] ist Teil der Formel für die Maximalhöhe vom vertikalen Wurf, umgestellt zur Geschwindigkeit.

[mm] h_m_a_x=\bruch{v^2}{2g} [/mm]
[mm] v=\wurzel{h_m_a_x}*\wurzel{2g} [/mm]

2g ist [mm] 2*9,81m/s^2 [/mm] und das sind die 19,62.

Ich hab da aber schon eine Lösung für gefunden indem ich [mm] \wurzel{19,62} [/mm] gerundet habe, die gerundete Zahl in einen handlichen Bruch umgeformt habe und davon wiederum meine Konstante für g ableite. Ich schreibe das nochmal wie gesagt in eine weitere Mitteilung.

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Mo 07.11.2016
Autor: RobKobin

Ich habe selbst nochmal überlegt. Da [mm] \wurzel{19,62} [/mm] irrational ist, ersetze ich es mit dem Bruch 3858/871.

Auch meine Annahme mit der Formel $ [mm] \wurzel{((u^2+v^2)-2uv)\cdot{}19,62} [/mm] $ zu arbeiten war falsch, da das Pythagoreisches Tripel ja ein rechtwinkliges Dreieck mit natürlichen Zahlen erzeugt, ich aber ein Dreieck mit der festen Hypotenuse von 0,91625 suche. Ich modifiziere also die Formeln:

$ [mm] a=u^2-v^2 [/mm] $
$ b=2uv $
$ [mm] c=u^2+v^2 [/mm] $

zu

$ [mm] a'=u^2-v^2 [/mm] $
$ b'=2uv $
$ [mm] c'=u^2+v^2 [/mm] $


$ [mm] a'*\bruch{0,91625}{c'}=a [/mm] $

$ [mm] b'*\bruch{0,91625}{c'}=b [/mm] $

$ [mm] c'*\bruch{0,91625}{c'}=c=0,91625 [/mm] $


Meine neuen Bedingungen sind also:

Ich suche zwei rationale Zahlen a und b.

$ b/a [mm] \approx tan(60^\circ) [/mm] $
$ [mm] a^2+b^2=c^2 [/mm] $
$ c=0,91625 $
$ [mm] \wurzel{0,91625-b}\cdot{}\bruch{3858}{871} [/mm] $ ∈ [mm] \IQ [/mm]

Letzte Bedingung mit den Variablen des Pythagoreischen Tripel u und v anstatt b

$ [mm] \wurzel{0,91625-\bruch{1,8325*u*v}{u^2+v^2}}\cdot{}\bruch{3858}{871} [/mm] $ ∈ [mm] \IQ [/mm]

Ist es damit nun möglich eine Lösung zu finden?


Hintergrund: Das ist Teil der Art und Weise wie das Spiel den Lauf der Spielfigur bzw den Sprung aus dem Lauf vollzieht. 0,91625 ist die Beinlänge und 3858/871 ist die Wurzel von [mm] 2*9,81m/s^2 [/mm] die Teil der Formel ist.

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:54 Mi 09.11.2016
Autor: HJKweseleit



> Meine neuen Bedingungen sind also:
>  
> Ich suche zwei rationale Zahlen a und b.
>  
> [mm]b/a \approx tan(60^\circ)[/mm]

also [mm] b=a*tan(60°)=a*\wurzel(3) [/mm]

[mm] \Rightarrow b^2=a^2*3 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

>  [mm]a^2+b^2=c^2[/mm]


entspricht nun [mm] a^2+3a^2=4a^2=c^2 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] 2a=c

>  [mm]c=0,91625[/mm]

und somit a=c/2 = 0,458125



Warum muss in deiner simulierten Computer-Spielewelt genau g=9,81 sein?

Wenn du g=9,68 setzt (1,3 % Fehler), sind 2g=19,36 und [mm] \wurzel{0,1936}=0,44. [/mm]





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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Fr 11.11.2016
Autor: leduart

Hallo
intern rechnet der Rechner ja mit Dualzahlen, d,h. du musst Brüche haben die aus zweier Brüchen zu sammengesetzt sind, denn sobald du 2 ganze Zahlen dividierst macht der R doch wieder reelle draus.
und ich denke nicht, das verschiedene Rechner da verschieden Rechnen, du kannst ja immer allen sinnlosen langen Schwänze einfach abschneiden, oder du nimmst statt irgendwelche Brüche zB g=9,8125 [mm] =2^3+2^0+2^{-1}+2^{-2}+2^{-4} [/mm]
Gruß ledum

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 Fr 11.11.2016
Autor: sinnlos123

ist das exakte ergebnis denn entscheidend?

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 So 13.11.2016
Autor: HJKweseleit

Für die Computerdarstellung im Dualsystem bietet sich folgende Zahl an:

g=9,5703125 [mm] \hat= [/mm] 1001,1001001 dual, abbrechend.

Daraus erhält man:

g/50=0,19140625 [mm] \hat= [/mm] 0,00110001 dual, abbrechend sowie
[mm] \wurzel{0,1914026}= [/mm] 0,4375 [mm] \hat= [/mm] 0,0111 dual, abbrechend.

Das dürfte im Rechner keine Rundungsfehler mehr geben.

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 So 13.11.2016
Autor: RobKobin

Hallo, ich melde mich etwas spät...

Ich lasse das unbedingt auf rationale Zahlen zu bestehen, da ich auch mit denen nicht dran vorbeikomme biomechanische Abläufe ohne Wurzeln zu beschreiben.

Frage wäre damit für mich nichtmehr interessant, danke aber für alle die mir helfen wollten!

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Bestimmung 2 rationaler Zahlen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:20 Di 15.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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