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Beweis Existenz Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 So 22.05.2016
Autor: Ella

Aufgabe
Es sei f:[0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] eine Funktion, die für jedes t>0 auf dem Intervall [0,t] integrierbar ist. Es existiere [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = c [mm] \in \IR [/mm] .
Zeigen Sie, dass dann bereits gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] = c.

Hey,

ich sitze vor dieser Aufgabe und habe echt keinerlei Vorstellung, wie diese Aufgabe auch nur gemeint ist. Wie ist zum Beispiel das x und t gemeint? Ich verstehe nicht, ob das x zum Beispiel nun zwischen 0 und t liegen muss, da das Integral ja "nur" auf [0,t] integrierbar ist.

Vielen Dank für jede Hilfe!!
LG



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Beweis Existenz Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:23 So 22.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Es sei f:[0, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine Funktion, die für jedes
> t>0 auf dem Intervall [0,t] integrierbar ist. Es existiere
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = c [mm]\in \IR[/mm] .
> Zeigen Sie, dass dann bereits gilt:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ \ \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}\ =\ c\,.[/mm]
>  Hey,
>  
> ich sitze vor dieser Aufgabe und habe echt keinerlei
> Vorstellung, wie diese Aufgabe auch nur gemeint ist. Wie
> ist zum Beispiel das x und t gemeint? Ich verstehe nicht,
> ob das x zum Beispiel nun zwischen 0 und t liegen muss, da
> das Integral ja "nur" auf [0,t] integrierbar ist.


Guten Abend Ella

und
              [willkommenmr]

Definiere zum Beispiel   $\ F(x)\ :=\ [mm] \integral_{0}^{x}{f(t)\ dt}$ [/mm]
und          $\ m(x)\ :=\ [mm] \frac{F(x)}{x}$ [/mm]

m(x) steht dann für den Durchschnittswert von f über dem
Intervall von 0 bis x.

Nun soll der Grenzwert von m(x) für x [mm] \to \infty [/mm]  betrachtet werden.
Überleg dir also einmal, wie man zeigen kann, dass für jedes
positive [mm] \varepsilon [/mm]  ein Wert  K  bestimmt werden kann mit der
Eigenschaft, dass

       $\ [mm] |\,m(x)\,-\,c\,|\ [/mm] <\ [mm] \varepsilon [/mm] $   für alle x mit  x > K

LG  ,    Al-Chw.



Bezug
        
Bezug
Beweis Existenz Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Mo 23.05.2016
Autor: fred97


> Es sei f:[0, [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] eine Funktion, die für jedes
> t>0 auf dem Intervall [0,t] integrierbar ist. Es existiere
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = c [mm]\in \IR[/mm] .
> Zeigen Sie, dass dann bereits gilt:
>  [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
> = c.
>  Hey,
>  
> ich sitze vor dieser Aufgabe und habe echt keinerlei
> Vorstellung, wie diese Aufgabe auch nur gemeint ist. Wie
> ist zum Beispiel das x und t gemeint? Ich verstehe nicht,
> ob das x zum Beispiel nun zwischen 0 und t liegen muss, da
> das Integral ja "nur" auf [0,t] integrierbar ist.

Sei x>0: mit [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] ist das Integral von f über das Intervall [0,x] gemeint.

Tipp zur Aufgabe: Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Edit: es geht auch ohne den Mittelwertsatz.

Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann gibt es ein a>0 mit:

   [mm] c-\varepsilon [/mm] <f(t)< [mm] c+\varepsilon [/mm]  für alle t [mm] \ge [/mm] a.


Nun spalte auf:

[mm] \bruch{1}{x} \integral_{0}^{x}{f(t) dt}= \bruch{1}{x} \integral_{0}^{a}{f(t) dt}+ \bruch{1}{x} \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm]

für x [mm] \ge [/mm] a.

FRED
FRED


>
> Vielen Dank für jede Hilfe!!
> LG
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  


Bezug
                
Bezug
Beweis Existenz Integral: danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Mo 23.05.2016
Autor: Ella

Super. vielen lieben Dank. Haben jetzt die Loesung hinbekommen ! :)
LG

Bezug
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