www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Beweis Kettenregel
Beweis Kettenregel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:23 Fr 06.01.2017
Autor: X3nion

Hallo zusammen!

Ich habe Fragen zum Beweis der Kettenregel, wie er im Forster geführt wird.

---

Die Kettenregel: Seien f: V [mm] \rightarrow \IR [/mm] und g: W [mm] \rightarrow \IR [/mm] Funktionen mit f(V) [mm] \subset [/mm] W.
Die Funktion f sei im Punkt x [mm] \in [/mm] V differenzierbar und g sei in y:=f(x) [mm] \in [/mm] W differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion

g [mm] \circ [/mm] f: v [mm] \rightarrow \IR [/mm]

im Punkt x differenziarbar und es gilt

(g [mm] \circ [/mm] f)'(x) = g'(f(x)) f'(x).


Beweis: Man definiere die Funktion [mm] g^{\*}: [/mm] W [mm] \rightarrow \IR [/mm] durch

[mm] g^{\*}(\eta):= \begin{cases} \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}, & \mbox{falls } \eta \not= y \\ g'(y), & \mbox{falls } \eta = y \end{cases}. [/mm]

Da g in y differenzierbar ist, gilt

[mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y).

Außerdem gilt für alle [mm] \eta \in [/mm] W

[mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y).

Damit erhält man

(g [mm] \circ [/mm] f)'(x) = [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g(f(\xi)) - g(f(x))}{\xi - x} [/mm] = [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g^{\*}(f(\xi)) (f(\xi) - f(x))}{\xi - x} [/mm]

= [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} [/mm] = g'(f(x)) f'(x)

---


Nun zu meinen Fragen:

1) a) Zunächst einmal verstehe ich die Definition der Funktion [mm] g^{\*}(\eta) [/mm] nicht so ganz. Macht man diese Fallunterscheidung, weil man alle Funktionswerte f(x) als Argumente der Funktion g zulassen möchte und den Fall ausschließen muss, dass [mm] \eta [/mm] = y ist, da sonst der Nenner im Differenzenquotienten 0 ergeben würde?

  b) Und bezeichnet g'(y) den Grenzwert des Differenzenquotienten für [mm] \eta \rightarrow [/mm] y ?

2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y)."
die Stetigkeit (diese folgt ja aus der Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] gilt?

Und greift hier wegen [mm] \eta [/mm] = y in der Definition, dass [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y) ist?

3) Wieso gilt für alle [mm] \eta \in [/mm] W
[mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y) ?

Wo es mir einleuchtet ist der Fall [mm] \eta \not= [/mm] y, denn dann folgt aus [mm] g^{\*}(\eta):= \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}, [/mm] dass [mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y) ist. Aber wieso gilt [mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y) auch für [mm] \eta [/mm] = y ?

4) Wird im Schritt

[mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} [/mm] = g'(f(x)) f'(x)

die Tatsache benutzt, dass f stetig ist und somit dass für [mm] \xi \rightarrow [/mm] x [mm] f(\xi) \rightarrow [/mm] f(x)? Und wegen [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y) gilt dann [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) [/mm] = g'(f(x)) ?



Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! :-)

Viele Grüße,
X3nion

        
Bezug
Beweis Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:44 Fr 06.01.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo zusammen!
>  
> Ich habe Fragen zum Beweis der Kettenregel, wie er im
> Forster geführt wird.
>  
> ---
>  
> Die Kettenregel: Seien f: V [mm]\rightarrow \IR[/mm] und g: W
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] Funktionen mit f(V) [mm]\subset[/mm] W.
>  Die Funktion f sei im Punkt x [mm]\in[/mm] V differenzierbar und g
> sei in y:=f(x) [mm]\in[/mm] W differenzierbar. Dann ist die
> zusammengesetzte Funktion
>  
> g [mm]\circ[/mm] f: v [mm]\rightarrow \IR[/mm]
>  
> im Punkt x differenziarbar und es gilt
>  
> (g [mm]\circ[/mm] f)'(x) = g'(f(x)) f'(x).
>  
>
> Beweis: Man definiere die Funktion [mm]g^{\*}:[/mm] W [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> durch
>  
> [mm]g^{\*}(\eta):= \begin{cases} \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}, & \mbox{falls } \eta \not= y \\ g'(y), & \mbox{falls } \eta = y \end{cases}.[/mm]
>  
> Da g in y differenzierbar ist, gilt
>  
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] =
> g'(y).
>  
> Außerdem gilt für alle [mm]\eta \in[/mm] W
>  
> [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y).
>  
> Damit erhält man
>  
> (g [mm]\circ[/mm] f)'(x) = [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g(f(\xi)) - g(f(x))}{\xi - x}[/mm]
> = [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g^{\*}(f(\xi)) (f(\xi) - f(x))}{\xi - x}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}[/mm]
> = g'(f(x)) f'(x)
>  
> ---
>  
>
> Nun zu meinen Fragen:
>  
> 1) a) Zunächst einmal verstehe ich die Definition der
> Funktion [mm]g^{\*}(\eta)[/mm] nicht so ganz. Macht man diese
> Fallunterscheidung, weil man alle Funktionswerte f(x) als
> Argumente der Funktion g zulassen möchte und den Fall
> ausschließen muss, dass [mm]\eta[/mm] = y ist, da sonst der Nenner
> im Differenzenquotienten 0 ergeben würde?

[ok]

>  
> b) Und bezeichnet g'(y) den Grenzwert des
> Differenzenquotienten für [mm]\eta \rightarrow[/mm] y ?


[ok]

>  
> 2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] =  g'(y)."
>  die Stetigkeit (diese folgt ja aus der
> Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] gilt?
>  

[ok]

Sinnvoller wäre es aber gewesen, das so herum zu schreiben:

[mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}[/mm]  [mm]= g'(y) = g^{\*}(y)[/mm] .


> Und greift hier wegen [mm]\eta[/mm] = y in der Definition, dass
> [mm]g^{\*}(y)[/mm] = g'(y) ist?

[ok]

>  
> 3) Wieso gilt für alle [mm]\eta \in[/mm] W
>  [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y) ?
>  
> Wo es mir einleuchtet ist der Fall [mm]\eta \not=[/mm] y, denn dann
> folgt aus [mm]g^{\*}(\eta):= \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y},[/mm]
> dass [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y) ist. Aber
> wieso gilt [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y) auch
> für [mm]\eta[/mm] = y ?
>  

Für [mm] \eta \ne [/mm] y ist dies klar, da man die Funktionsgleichung nur umgestellt hat.

Für [mm] \eta=y [/mm] wird die linke Seite 0 und die Klammer auf der rechten ebenfalls. Falls [mm] g^{\*} [/mm] endlich ist, kann [mm] g^{\*} [/mm] dort sogar einen beliebigen Wert k haben, denn 0=k*0 ist dann richtig. (Allerdings wäre [mm] g^{\*} [/mm] dann nicht unbedingt stetig in y.)

> 4) Wird im Schritt
>
> [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}[/mm]
> = g'(f(x)) f'(x)
>  
> die Tatsache benutzt, dass f stetig ist

Ja, und auch differenzierbar!

>  und somit dass für
> [mm]\xi \rightarrow[/mm] x [mm]f(\xi) \rightarrow[/mm] f(x)? Und wegen
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] = g'(y)
> gilt dann [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))[/mm] =
> g'(f(x)) ?
>  

[ok]

>
>
> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! :-)
>  
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                
Bezug
Beweis Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Fr 06.01.2017
Autor: X3nion

Hallo,

danke für das Hinüberschauen auf meine Fragen und für die Ausführungen!

>  
> 2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt
>  [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm]  =  [mm] g^{\*}(y) [/mm]  =  g'(y)."
>  die Stetigkeit (diese folgt ja aus der
> Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass
>  [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm]  =  [mm] g^{\*}(y) [/mm]  gilt?
>  

[ok]

> Sinnvoller wäre es aber gewesen, das so herum zu schreiben:

>  [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm]  = [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y} [/mm]   = g'(y) = [mm] g^{\*}(y) [/mm]  .

So wie du es umformuliert hast: wird dann genau genommen die Differenzierbarkeit von g in y benutzt, also dass [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y} [/mm]   = g'(y) ?

Ich hatte ja gefragt, ob an der Stelle [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm]  =  [mm] g^{\*}(y) [/mm]  die Stetigkeit von g benutzt wird, und da hast du geschrieben ja.
Gibt es also mehrere Möglichkeiten, den Schritt zu begründen?


> Für [mm] \eta \ne [/mm] y ist dies klar, da man die Funktionsgleichung nur
> umgestellt hat.

> Für [mm] \eta=y [/mm] wird die linke Seite 0 und die Klammer auf der rechten
> ebenfalls. Falls [mm] g^{\*} [/mm] endlich ist, kann [mm] g^{\*} [/mm] dort sogar einen beliebigen > Wert k haben, denn 0=k*0 ist dann richtig. (Allerdings wäre [mm] g^{\*} [/mm] dann
> nicht unbedingt stetig in y.)

Wie meinst du das mit der Endlichkeit von [mm] g^{\*}, [/mm] und wieso wäre [mm] g^{\*} [/mm] dann nicht unbedingt stetig in y?


Und wieso gilt nochmal [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) [/mm] = g'(f(x))?
Es gilt ja wegen der Stetigkeit von f [mm] f(\xi) \rightarrow [/mm] f(x) für [mm] \xi \rightarrow [/mm] x.
Kann man dann also auch sagen, dass [mm] \eta \rightarrow [/mm] y für [mm] \xi \rightarrow [/mm] x und deshalb [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) [/mm] = g'(f(x))



Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Beweis Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Sa 07.01.2017
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  
> danke für das Hinüberschauen auf meine Fragen und für
> die Ausführungen!
>  
> >  

> > 2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt
>  >  [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm]  =  [mm]g^{\*}(y)[/mm]  
> =  g'(y)."
>  >  die Stetigkeit (diese folgt ja aus der
>  > Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass

>  >  [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm]  =  [mm]g^{\*}(y)[/mm]  
> gilt?
>  >  
>
> [ok]
>  
> > Sinnvoller wäre es aber gewesen, das so herum zu
> schreiben:
>  
> >  [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm]  = [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}[/mm]

>   = g'(y) = [mm]g^{\*}(y)[/mm]  .
>
> So wie du es umformuliert hast: wird dann genau genommen
> die Differenzierbarkeit von g in y benutzt, also dass
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}[/mm]  
>  = g'(y) ?
>  
> Ich hatte ja gefragt, ob an der Stelle [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm]
>  =  [mm]g^{\*}(y)[/mm]  die Stetigkeit von g benutzt wird, und da
> hast du geschrieben ja.
> Gibt es also mehrere Möglichkeiten, den Schritt zu
> begründen?
>  

Zunächst: [mm] g^{\*}(y) [/mm] wird für [mm] \eta \ne [/mm] y als Differenzenquotient und für [mm] \eta [/mm] = y als "etwas anderes", nämlich g'(y), definiert.

Da nun aber g differenzierbar ist, existiert der Limes des Differenzenquotienten (und damit eben auch der Limes von [mm] g^{\*}), [/mm] und dieser  Limes hat den Wert g'(y). Da man aber GOTTSEIDANK [mm] g^{\*}(y) [/mm] als g'(y) festgelegt hat, erweist sich NUN erst durch diese Festlegung(!), dass [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)=g^{\*}(y) [/mm] und damit [mm] g^{\*} [/mm] in y stetig ist.

Die Stetigkeit von g reicht also hier für die Argumentation nicht aus, die Differenzierbarkeit von g muss vorausgesetzt werden. Damit muss g natürlich auch stetig sein.

>
> > Für [mm]\eta \ne[/mm] y ist dies klar, da man die
> Funktionsgleichung nur
> > umgestellt hat.
>  
> > Für [mm]\eta=y[/mm] wird die linke Seite 0 und die Klammer auf der
> rechten
> > ebenfalls. Falls [mm]g^{\*}[/mm] endlich ist, kann [mm]g^{\*}[/mm] dort sogar
> einen beliebigen > Wert k haben, denn 0=k*0 ist dann
> richtig. (Allerdings wäre [mm]g^{\*}[/mm] dann
> > nicht unbedingt stetig in y.)
>
> Wie meinst du das mit der Endlichkeit von [mm]g^{\*},[/mm] und wieso
> wäre [mm]g^{\*}[/mm] dann nicht unbedingt stetig in y?
>

Wenn man [mm] g^{\*} [/mm] nur als obigen Differenzenquotienten definiert, hat [mm] g^{\*} [/mm] bei [mm] \eta [/mm] = y eine Definitionslücke. Da wir nun (s. meine Anmerkung oben) wissen, dass sich [mm] g^{\*} [/mm] dort dem Wert g'(y) nähert, können wir diese Lücke mit g'(y) STETIG ergänzen (s.o.). Das müssen wir aber nicht tun. Wir könnte ja einfach [mm] g^{\*}(y)=4711 [/mm] setzen, und nun wäre [mm] g^{\*} [/mm] in y nicht stetig (falls g'(y) nicht zufällig gleich 4711 ist), und unsere ganze weitere Argumentation wäre nicht haltbar (s.u.).

Trotzdem würde aber gelten: [mm] g^{\*}(\eta)*(\eta-y)=g(\eta)-g(y), [/mm] denn für [mm] \eta \ne [/mm] y stimmt die Gleichung mit der Definition von [mm] g^{\*} [/mm] überein (umgeformt); für [mm] \eta=y [/mm] erhielte man nun 4711*(y-y)=g(y)-g(y), also 4711*0=0, und das stimmt ja auch. Die Gleichung wäre also für jeden beliebigen Wert von [mm] g^{\*}(y) [/mm] richtig, er müsste gar nicht g'(y) heißen. Natürlich ist er auch für g'(y) richtig.

>
> Und wieso gilt nochmal [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))[/mm]
> = g'(f(x))?

Oben habe ich noch mal klargestellt, dass durch die Definition [mm] g^{\*}(y)=g'(y) [/mm] die Funktion [mm] g^{\*} [/mm] stetig wird. f ist (da differenzierbar) ebenfalls stetig. Deshalb kannst du nun den Limes durch beide Funktionen durchziehen:

[mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))=g^{\*}(\limes_{\xi \rightarrow x}f(\xi))= g^{\*}(f(\limes_{\xi \rightarrow x}\xi))=g^{\*}(f(x))=g^{\*}(y)=g'(y). [/mm]

>  Es gilt ja wegen der Stetigkeit von f [mm]f(\xi) \rightarrow[/mm]
> f(x) für [mm]\xi \rightarrow[/mm] x.
>  Kann man dann also auch sagen, dass [mm]\eta \rightarrow[/mm] y
> für [mm]\xi \rightarrow[/mm] x und deshalb [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))[/mm]
> = g'(f(x))

Ja.

>  
>
>
> Viele Grüße,
>  X3nion


Bezug
                                
Bezug
Beweis Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:07 Mo 09.01.2017
Autor: X3nion

Vielen Dank für den ausführlichen Beitrag und die tolle Erklärung, nun leuchtet es mir ein!! :-)

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de