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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Beweis Mengenungleichheit
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Beweis Mengenungleichheit: Ungleichheit Mengendifferenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:59 Do 26.10.2017
Autor: asg

Aufgabe
Beweise:
a)  Wenn M = N, dann M [mm] \backslash [/mm] N = N [mm] \backslash [/mm] M.
b)  Wenn M [mm] \not= [/mm] N, dann M [mm] \backslash [/mm] N [mm] \not= [/mm] N [mm] \backslash [/mm] M.

M und N sind beliebige Mengen.

Hallo zusammen,

a) würde ich wie folgt beweisen:
Da M=N, ersetze ich in der Schlussfolgerung z.B. N durch M, also:
M \ M = M \ M
M \ M = [mm] \emptyset [/mm]
Also, [mm] \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset. [/mm]
Da es eine [mm] \emptyset [/mm] gibt, ist die Gleichheit gegeben und somit ist die Schlussfolgerung wahr und somit ist die Gesamtaussage wahr.

Bei b) bin ich mir nicht sicher.
1) M \ N = [mm] \{ x : x \in M \mbox{ und } x \notin N \} [/mm]
2) N \ M = [mm] \{ x : x \in N \mbox{ und } x \notin M \} [/mm]

Aus 1) und 2) folgt:
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in \{ x : x \in M \mbox{ und } x \notin N \} [/mm] : x [mm] \notin \{ x : x \in N \mbox{ und } x \notin M \} \Rightarrow [/mm] M \ N [mm] \not= [/mm] N \ M
Somit ist die Gesamtaussage wahr.

Kann mir bitte jemand helfen? Ist es so richtig?

Danke vorab

Viele Grüße
Asg


        
Bezug
Beweis Mengenungleichheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Do 26.10.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Beweise:
> a) Wenn M = N, dann M [mm]\backslash[/mm] N = N [mm]\backslash[/mm] M.
> b) Wenn M [mm]\not=[/mm] N, dann M [mm]\backslash[/mm] N [mm]\not=[/mm] N [mm]\backslash[/mm]
> M.

>

> M und N sind beliebige Mengen.
> Hallo zusammen,

>

> a) würde ich wie folgt beweisen:
> Da M=N, ersetze ich in der Schlussfolgerung z.B. N durch
> M, also:
> M \ M = M \ M
> M \ M = [mm]\emptyset[/mm]
> Also, [mm]\emptyset[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> Da es eine [mm]\emptyset[/mm] gibt, ist die Gleichheit gegeben und
> somit ist die Schlussfolgerung wahr und somit ist die
> Gesamtaussage wahr.

>

> Bei b) bin ich mir nicht sicher.
> 1) M \ N = [mm]\{ x : x \in M \mbox{ und } x \notin N \}[/mm]
> 2) N
> \ M = [mm]\{ x : x \in N \mbox{ und } x \notin M \}[/mm]

>

> Aus 1) und 2) folgt:
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \{ x : x \in M \mbox{ und } x \notin N \}[/mm] :
> x [mm]\notin \{ x : x \in N \mbox{ und } x \notin M \} \Rightarrow[/mm]
> M \ N [mm]\not=[/mm] N \ M
> Somit ist die Gesamtaussage wahr.

>

> Kann mir bitte jemand helfen? Ist es so richtig?

Ich kann keinen Fehler entdecken und das ganze ist auch sauber notiert.

Sorry, da bin ich wohl dem gleichen Irrtum aufgesessen, der dir unterlaufen ist. Siehe die andere Antwort von tobit09.


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Beweis Mengenungleichheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Do 26.10.2017
Autor: tobit09

Hallo asg!


Ich muss Diophant bei b) widersprechen:

>  1) M \ N = [mm]\{ x : x \in M \mbox{ und } x \notin N \}[/mm]
>  2) N
> \ M = [mm]\{ x : x \in N \mbox{ und } x \notin M \}[/mm]
>  
> Aus 1) und 2) folgt:
>  [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \{ x : x \in M \mbox{ und } x \notin N \}[/mm] :
> x [mm]\notin \{ x : x \in N \mbox{ und } x \notin M \}[/mm]

Diese Folgerung ist zum einen unbegründet, zum anderen i.A. falsch.


Du hast nirgendwo benutzt, dass [mm] $M\not=N$ [/mm] ist.

Mache dir klar:
Wegen [mm] $M\not=N$ [/mm] liegt mindestens einer der beiden folgenden Fälle vor:
1. Es existiert ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit [mm] $m\notin [/mm] N$.
2. Es existiert ein [mm] $n\in [/mm] N$ mit [mm] $n\notin [/mm] M$.

Begründe nun in jedem der beiden Fälle [mm] $M\setminus N\not=N\setminus [/mm] M$.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
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