Beweis zu Supremum einer Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Sa 29.10.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Mich beschäftigt ein Beweis zu der Menge M [mm] \{x | x^{2} < 2 \}, [/mm] und zwar konkret, dass diese Menge keine rationale Zahl als Supremum besitzt.
Falls das Supremum [mm] s_{0} [/mm] existiert, so muss es die Gleichung [mm] s_{0}^{2} [/mm] = 2 erfüllen.
Zum Beweis schließt man die Fälle a) [mm] s_{0}^{2} [/mm] < 2 und b) [mm] s_{0}^{2} [/mm] > 2 aus.
Zu a) Wäre [mm] s_{0}^{2} [/mm] < 2, so könnte man h > 0 so bestimmen, dass auch [mm] (s_{0} [/mm] + [mm] h)^{2} [/mm] < 2 gelten würde.
Denn: [mm] (s_{0} [/mm] + [mm] h)^{2} [/mm] < 2 <=> [mm] s_{0}^{2} [/mm] + [mm] 2s_{0} [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] < 2 <=> [mm] 2s_{0}h [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] < 2 - [mm] s_{0}^{2}.
[/mm]
Also genügt es, 0 < h < 1 zu finden mit
[mm] 2s_{0}h [/mm] + h < 2 - [mm] s_{0}^{2} [/mm] <=> u < [mm] \frac{2 - s_{0}^{2}}{2s_{0} + 1}.
[/mm]
Wähle z.B. h = [mm] \frac{1}{2}\frac{2-s_{0}^{2}}{2s_{0} + 1} [/mm] > 0.
Im Widerspruch zur Annahme könnte also [mm] s_{0} [/mm] nicht Supremum sein.
Zu b) Wäre [mm] s_{0}^{2} [/mm] > 2, dann wäre auch s = [mm] s_{0} [/mm] - [mm] \frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}} [/mm] < s noch obere Schranke von M, wegen
[mm] s^{2} [/mm] = [mm] (s_{0} [/mm] - [mm] \frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}})^{2} [/mm] = [mm] s_{0}^{2} [/mm] - [mm] (s_{0}^{2} [/mm] - 2) + [mm] (\frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}})^{2} [/mm] > [mm] s_{0}^{2} [/mm] - [mm] s_{0}^{2} [/mm] + 2 = 2.
Folglich könnte [mm] s_{0} [/mm] nicht kleinste obere Schranke sein, im Widerspruch zur Annahme und es muss [mm] s_{0}^{2} [/mm] = 2 gelten.
...
Nun zu meinen Fragen: Der Rest des Beweises, den ich weggelassen habe, ist mir klar. Nämlich dass man zeigen muss, dass es keine rationale Zahl [mm] s_{0} [/mm] gibt mit [mm] s_{0}^{2} [/mm] = 2.
Zu a) Ich gehe zuerst einmal davon aus, dass sich der Autor verschrieben hat und es lautet [mm] 2s_{0}h [/mm] + h < 2 - [mm] s_{0}^{2} [/mm] <=> h < [mm] \frac{2 - s_{0}^{2}}{2s_{0} + 1}, [/mm] oder was meint ihr?
Nun ist mir der Schritt nicht klar, wieso der Autor von der Ungleichung [mm] 2s_{0}h [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] < 2 - [mm] s_{0}^{2} [/mm] auf die Ungleichung [mm] 2s_{0}h [/mm] + h < 2 - [mm] s_{0}^{2} [/mm] kommt.
Wenn ich ein h finde mit 0 < h < 1, sodass [mm] 2s_{0}h [/mm] + h < 2 - [mm] s_{0}^{2} [/mm] gilt, ist es dann so, dass - aufgrund der Wahl von h - gilt:
[mm] 2s_{0}h [/mm] + [mm] h^{2} [/mm] < [mm] 2s_{0}h [/mm] + h < 2 - [mm] s_{0}^{2} [/mm] und er somit eine Abschätzung vollführt?
Zu b) Hier ergibt zuerst einmal die Wahl für s = [mm] s_{0} [/mm] - [mm] \frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}} [/mm] < s für mich keinen Sinn, denn somit bekommt man ja den Widerspruch s < s ?
Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! 
Viele Grüße,
X3nion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Sa 29.10.2016 | | Autor: | hippias |
> Hallo zusammen!
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> Mich beschäftigt ein Beweis zu der Menge M [mm]\{x | x^{2} < 2 \},[/mm]
> und zwar konkret, dass diese Menge keine rationale Zahl als
> Supremum besitzt.
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> Falls das Supremum [mm]s_{0}[/mm] existiert, so muss es die
> Gleichung [mm]s_{0}^{2}[/mm] = 2 erfüllen.
> Zum Beweis schließt man die Fälle a) [mm]s_{0}^{2}[/mm] < 2 und
> b) [mm]s_{0}^{2}[/mm] > 2 aus.
>
> Zu a) Wäre [mm]s_{0}^{2}[/mm] < 2, so könnte man h > 0 so
> bestimmen, dass auch [mm](s_{0}[/mm] + [mm]h)^{2}[/mm] < 2 gelten würde.
>
> Denn: [mm](s_{0}[/mm] + [mm]h)^{2}[/mm] < 2 <=> [mm]s_{0}^{2}[/mm] + [mm]2s_{0}[/mm] + [mm]h^{2}[/mm] <
> 2 <=> [mm]2s_{0}h[/mm] + [mm]h^{2}[/mm] < 2 - [mm]s_{0}^{2}.[/mm]
>
> Also genügt es, 0 < h < 1 zu finden mit
>
> [mm]2s_{0}h[/mm] + h < 2 - [mm]s_{0}^{2}[/mm] <=> u < [mm]\frac{2 - s_{0}^{2}}{2s_{0} + 1}.[/mm]
>
> Wähle z.B. h = [mm]\frac{1}{2}\frac{2-s_{0}^{2}}{2s_{0} + 1}[/mm] >
> 0.
> Im Widerspruch zur Annahme könnte also [mm]s_{0}[/mm] nicht
> Supremum sein.
>
> Zu b) Wäre [mm]s_{0}^{2}[/mm] > 2, dann wäre auch s = [mm]s_{0}[/mm] -
> [mm]\frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}}[/mm] < s noch obere Schranke von M,
> wegen
>
> [mm]s^{2}[/mm] = [mm](s_{0}[/mm] - [mm]\frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}})^{2}[/mm] =
> [mm]s_{0}^{2}[/mm] - [mm](s_{0}^{2}[/mm] - 2) + [mm](\frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}})^{2}[/mm]
> > [mm]s_{0}^{2}[/mm] - [mm]s_{0}^{2}[/mm] + 2 = 2.
>
> Folglich könnte [mm]s_{0}[/mm] nicht kleinste obere Schranke sein,
> im Widerspruch zur Annahme und es muss [mm]s_{0}^{2}[/mm] = 2
> gelten.
>
> ...
>
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> Nun zu meinen Fragen: Der Rest des Beweises, den ich
> weggelassen habe, ist mir klar. Nämlich dass man zeigen
> muss, dass es keine rationale Zahl [mm]s_{0}[/mm] gibt mit [mm]s_{0}^{2}[/mm]
> = 2.
>
> Zu a) Ich gehe zuerst einmal davon aus, dass sich der Autor
> verschrieben hat und es lautet [mm]2s_{0}h[/mm] + h < 2 - [mm]s_{0}^{2}[/mm]
> <=> h < [mm]\frac{2 - s_{0}^{2}}{2s_{0} + 1},[/mm] oder was meint
> ihr?
Ja, das ist ein Schreibfehler.
>
> Nun ist mir der Schritt nicht klar, wieso der Autor von der
> Ungleichung [mm]2s_{0}h[/mm] + [mm]h^{2}[/mm] < 2 - [mm]s_{0}^{2}[/mm] auf die
> Ungleichung [mm]2s_{0}h[/mm] + h < 2 - [mm]s_{0}^{2}[/mm] kommt.
> Wenn ich ein h finde mit 0 < h < 1, sodass [mm]2s_{0}h[/mm] + h < 2
> - [mm]s_{0}^{2}[/mm] gilt, ist es dann so, dass - aufgrund der Wahl
> von h - gilt:
> [mm]2s_{0}h[/mm] + [mm]h^{2}[/mm] < [mm]2s_{0}h[/mm] + h < 2 - [mm]s_{0}^{2}[/mm] und er somit
> eine Abschätzung vollführt?
So ist es.
>
> Zu b) Hier ergibt zuerst einmal die Wahl für s = [mm]s_{0}[/mm] -
> [mm]\frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}}[/mm] < s für mich keinen Sinn,
> denn somit bekommt man ja den Widerspruch s < s ?
>
Auch hier liegt vermutlich ein Schreibfehler vor. Es müsste [mm] $s_{0} -\frac{s_{0}^{2} - 2}{2s_{0}} [/mm] < [mm] s_{0}$ [/mm] heissen.
>
> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Sa 29.10.2016 | | Autor: | X3nion |
Hallo hippias,
danke für's Drüberblicken, so macht das Sinn!
Ich wusste dass es ein Tippfehler ist, wusste aber nicht, was ich durch [mm] s_{0} [/mm] ersetzen soll und was nicht.
VG X3nion
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