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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Beweise in einem LGS
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Beweise in einem LGS: Idee Tipp Lösungs
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Sa 17.04.2010
Autor: Yuppie

Aufgabe
Seien m; n E N beliebig, aij ; bi E R beliebig mit i E >(1; ....; n); j E (1;... ;m) und durch
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm

ein lineares Gleichungsystem mit m Zeilen und n Variablen bzw. Spalten gegeben. Es seien ferner Li die Lösungsmenge der i-ten Gleichung und
L1 \ L2 \ .... \ Lm = L die
Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Eine Umforumung des Gleichungsystems
heißt Elementarumformung, falls die Umformung die Lösungsmenge nicht verändert.
Seien k; l E (1; ... ;m) mit k 6= l und Lamna; My E R (ausser 0). Beweisen Sie:
(a) Das Multip liz ieren einer Gleichung des Systems mit Lamna ist eine Elementarumformung.
(b) Das Ersetzen der l-ten Gleichung durch die Summe von k-ter Gleichung und l-ter
Gleichung ist eine Elementarumformung.
(c) Das Ersetzen der l-ten Gleichung durch das Addieren des Lamna-fachen der k-ten Gleichung zu dem My-fachen der l-ten Gleichung ist eine Elementarumformung.
(d) Das vertauschen der k-ten Gleichung mit der l-ten Gleichung ist eine Elementarumformung.

Hier habe ich weder einen Ansatz noch irgendetwas.... Ein Tipp, Lösungsvorschläge/Ansätze wären nett



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweise in einem LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Sa 17.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

[willkommenmr] !

bitte das nächste Mal ausgiebiger den Formeleditor benutzen!

> Seien m; n E N beliebig, aij ; bi E R beliebig mit i E >(1;
> ....; n); j E (1;... ;m) und durch
>  a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1
>  a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2
>  ...
>  ...
>  ...
>  ...
>  am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm
>  
> ein lineares Gleichungsystem mit m Zeilen und n Variablen
> bzw. Spalten gegeben. Es seien ferner Li die Lösungsmenge
> der i-ten Gleichung und
> L1 \ L2 \ .... \ Lm = L die
>  Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.

Ich vermute, da steht eher sowas wie

[mm] $L_{1} \cap L_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap L_{m} [/mm] = L$,

oder?


> Eine
> Umforumung des Gleichungsystems
>  heißt Elementarumformung, falls die Umformung die
> Lösungsmenge nicht verändert.
>  Seien [mm] $k,l\in [/mm] (1,  ... , m)$ mit $k [mm] \not= [/mm] l$ und [mm] $\lambda, \mu \in\IR$ [/mm]
> (ausser 0). Beweisen Sie:

>  (a) Das Multip liz ieren einer Gleichung des Systems mit
> [mm] \lambda [/mm] ist eine Elementarumformung.
>  (b) Das Ersetzen der l-ten Gleichung durch die Summe von
> k-ter Gleichung und l-ter
>  Gleichung ist eine Elementarumformung.
>  (c) Das Ersetzen der l-ten Gleichung durch das Addieren
> des Lamna-fachen der k-ten Gleichung zu dem My-fachen der
> l-ten Gleichung ist eine Elementarumformung.
>  (d) Das vertauschen der k-ten Gleichung mit der l-ten
> Gleichung ist eine Elementarumformung.


Du musst jeweils zeigen, dass die Lösungsmenge L bei diesen Elementarumformungen gleich bleibt.
Dabei solltest du dir klar machen, dass L gleichbleibt, wenn jedes [mm] L_{i} [/mm] gleich bleibt.

Zu (a):

Es liegen ja m Gleichungen vor, und die Lösungsmenge jeder Gleichung wird oben mit [mm] $L_{m}$ [/mm] bezeichnet.
Für den Beweis gehe so vor:

Sei [mm] $i\in \{1,...,m\}$. [/mm] Multiplizieren wir nun die i-te Zeile mit [mm] $\lambda\not= [/mm] 0$, erhalten wir die neue Gleichung:

[mm] $\lambda*\left(a_{i_{1}}*x_{1} + a_{i_{2}}*x_{2} + ... + a_{i_{n}}*x_{n}\right) [/mm] = [mm] \lambda*b_{i}$ [/mm]

Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist

[mm] $L_{m}':=\{(x_{1},...,x_{n})\in\IR^{n}|\lambda*\left(a_{i_{1}}*x_{1} + a_{i_{2}}*x_{2} + ... + a_{i_{n}}*x_{n}\right) = \lambda*b_{i}\}$. [/mm]

Vorher war die Lösungsmenge dieser Gleichung:

[mm] $L_{m}:=\{(x_{1},...,x_{n})\in\IR^{n}|a_{i_{1}}*x_{1} + a_{i_{2}}*x_{2} + ... + a_{i_{n}}*x_{n} =b_{i}\}$. [/mm]


Offenbar verändern sich die Lösungsmengen der anderen Gleichungen nicht, wenn wir nur die i-te Zeile mit [mm] \lambda [/mm] multiplizieren. Das neue Gleichungssystem hat also genau dann dieselben Lösungen wie vorher, wenn [mm] L_{m}' [/mm] und [mm] L_{m} [/mm] gleich sind.

Das musst du nun zeigen.
Du hast eine Gleichheit von Mengen zu zeigen, d.h. [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset. [/mm]

(Hinweis: Die Beweis sind sehr einfach!)

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Beweise in einem LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:36 Di 20.04.2010
Autor: Yuppie

mein Problem liegt darin. wie macht man das? Auf der Schule haben wir das nie gemacht Irgendwelche Gleichheiten beweisen. Mir fallen alle Beweise schwer. Auch wenn dein Tip mir einen Ansatz gibt. Aber bei der Aufgabe b hänge ich schon wieder fest.

Bezug
                        
Bezug
Beweise in einem LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:24 Mi 21.04.2010
Autor: leduart

Hallo
Du musst schon mal anfangen, fertige Beweise liefern hilft dir ja wenig, die gibts in büchern. Um dir das besser vorzustellen nimm doch ein 3*3 oder 3*4 System, und sieh dir da die Behauptungen an, und wie du sie Zeigen würdet.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Beweise in einem LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Mi 21.04.2010
Autor: ella87

Ich mach die selbe Aufgabe!
Kann man das so schreiben (?):

Beh: (a) ist Elementarumformung!
Beweis: zz: (1) [mm]\IL_{i}\subset\IL_{\lambda i}[/mm]
            (2) [mm]\IL_{\lambda i}\subset\IL_{i}[/mm]

zu (1):
[mm]sei \ x \in \IL_{i}: a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+...+a_{in}x_{n}=b_{n} \Rightarrow \lambda (a_{i1}x_{1}+a_{i12}x_{2}+...+a_{in}x_{n})= \lambda b_{n} \Rightarrow x \in \IL_{\lambda i} \Rightarrow \IL_{i}\subset\IL_{\lambda i}[/mm]

Wenn man Äquivalenzpfeile macht, hat man doch die Rückrichtung auch schon gezeigt, oder ist es formal dch nicht so einfach?
LG

Bezug
                                        
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Beweise in einem LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mi 21.04.2010
Autor: leduart

Hallo
das ist richtig,
Gruss leduart

Bezug
                                        
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Beweise in einem LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mi 21.04.2010
Autor: Yuppie

Also ist das immer so einfach???
Ich mache das jetzt mal für Beispiel b) und hoffe ich hab es verstanden vielleicht kann mir einer sagen ob ich es richtig mache ;) :

[mm] a_{l 1}\*x_{l} [/mm] + [mm] a_{l 2}\*x_{2} [/mm] + [mm] a_{l 3}\*x_{3}+ [/mm] ... = [mm] b_{l} [/mm]     |   [mm] L_{l}- L_{k} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_{(l-k) 1}\*x_{1} [/mm] + [mm] a_{(l-k) 2}\*x_{2} [/mm] + [mm] a_{(l-k) 3}\*x_{3}+ [/mm] ... = [mm] b_{l-k} [/mm]



Bezug
                                                
Bezug
Beweise in einem LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Mi 21.04.2010
Autor: leduart

Hallo
etwas länger muss man das schon aufschrieben, und richtig, deine [mm] a_{l-k}sind [/mm] Quatsch. du musst schon L1 und Le hinschreiben, dann l!-L2, dann die differenz wirklich bilden und zeign, dass sich bk-bl ergibt.
bei dem [mm] \lambda [/mm] war das halt nur 1 Zeile.
Gruss leduart

Bezug
                                                        
Bezug
Beweise in einem LGS: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mi 21.04.2010
Autor: ehtaM82

Ich bin ebenfalls diese Aufgabe am bearbeiten.
zum Aufgabenteil b:

die Summe der k. und l. Gleichung wäre doch:
[mm] (a_{l1}+a_{k1})x_1+(a_{l2}+a_{k2})x_2+…+(a_{ln}+a_{kn})x_n=b_l+b_k [/mm]

kann ich dann jetzt schreiben:

[mm] x\in\IL_{l+k} \Rightarrow \IL_l \subset \IL_{l+k} [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Beweise in einem LGS: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Mi 21.04.2010
Autor: leduart

Hallo
ich denke, du solltest das noch  ohne klammern hinschreiben, damit man [mm] L_i [/mm] und [mm] L_k [/mm] wirklich sieht.
und wie argumentierst du für das
$ [mm] x\in\IL_{l+k} \Rightarrow \IL_l \subset \IL_{l+k} [/mm] $
wieso gilt das?
Bsp
x+y=1  L1
x-y=1  L2
L1+L2  2x=2   die lösungsmenge vim L1 ist aber viel grösser! ist also in L1+2 nicht enthalten.
Gruss leduart


Bezug
                                                                        
Bezug
Beweise in einem LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:44 Do 22.04.2010
Autor: ehtaM82

danke leduart für den Tipp mit der klammerlosen Schreibweise.

ich habe so argumentiert:
da [mm] x\in\IL_l [/mm] und [mm] x\in\IL_k \rightarrow x\in\IL_{l+k} [/mm]
und daraus folgt ja dann auch, dass [mm] \IL_l\subset\IL_{l+k} [/mm]

Aber mal ne andere Frage nebenbei:
kann Jemand von euch ein gutes Mathebuch empfehlen, womit man arbeiten könnte, um mit Beweisen und so weiter besser umgehen zu lernen?

Bezug
                                        
Bezug
Beweise in einem LGS: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Mi 21.04.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

ja du darfst auch Äquivalenzpfeile machen;
dabei sollte aber auf jeden Fall einmal die Voraussetzung [mm] \lambda\not= [/mm] 0 eingehen!

Grüße,
Stefan

Bezug
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