Beweisführung für Wenn-Dann < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] zwei Buchstaben und [mm] n(a_{1}) [/mm] und [mm] n(a_{2}) [/mm] zwei Zahlen.
Wenn x [mm] n(a_{1}) [/mm] Buchstaben [mm] a_{1}, n(a_{2}) [/mm] Buchstaben [mm] a_{2} [/mm] enthält und [mm] n(a_{1}) [/mm] < [mm] n(a_{2}) [/mm] dann enthält x mindestens [mm] n(a_{1}) [/mm] + [mm] n(a_{2}) [/mm] Buchstaben.
Behauptung: Die Aussage ist wahr.
Beweise die Behauptung. |
Es liegt folgender Beweis vor:
Beweis
Wir müssen nur den Fall, dass die wenn-Aussage wahr ist, näher untersuchen.
> Nachfrage: Wann ist die Aussage falsch? Warum wird dann kein Beweis mehr benötigt?
Falls [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] derselbe Buchstabe sind, dann gilt [mm] n(a_{1}) [/mm] = [mm] n(a_{2}) [/mm] und die wenn-Aussage ist falsch.
> Nachfrage: Wie kommt man zu der These, dass der gleiche Buchstabe automatisch der gleichen Anzahl entspricht?
Falls [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] verschiedene Buchstaben sind, dann enthält x [mm] n(a_{1}) [/mm] Buchstaben [mm] a_{1} [/mm] und [mm] n(a_{2}) [/mm] Buchstaben [mm] a_{2}, [/mm] insgesamt also mindestens [mm] n(a_{1}) [/mm] + [mm] n(a_{2}) [/mm] Buchstaben.
> Nachfrage: Verstehe ich es richtig, dass wenn ich 5x A und 3x B habe die Aussage somit korrekt bewiesen ist, weil mindestens 8 Buchstaben vorhanden sind?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich danke vielmals für Eure Unterstützung!
LG
Tim
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> Seien [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] zwei Buchstaben und [mm]n(a_{1})[/mm] und
> [mm]n(a_{2})[/mm] zwei Zahlen.
> Wenn x [mm]n(a_{1})[/mm] Buchstaben [mm]a_{1}, n(a_{2})[/mm] Buchstaben
> [mm]a_{2}[/mm] enthält und [mm]n(a_{1})[/mm] < [mm]n(a_{2})[/mm] dann enthält x
> mindestens [mm]n(a_{1})[/mm] + [mm]n(a_{2})[/mm] Buchstaben.
>
> Behauptung: Die Aussage ist wahr.
>
> Beweise die Behauptung.
>
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> Es liegt folgender Beweis vor:
> Beweis
> Wir müssen nur den Fall, dass die wenn-Aussage wahr ist,
> näher untersuchen.
> > Nachfrage: Wann ist die Aussage falsch? Warum wird dann
> kein Beweis mehr benötigt?
>
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> Falls [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] derselbe Buchstabe sind, dann gilt
> [mm]n(a_{1})[/mm] = [mm]n(a_{2})[/mm] und die wenn-Aussage ist falsch.
> > Nachfrage: Wie kommt man zu der These, dass der gleiche
> Buchstabe automatisch der gleichen Anzahl entspricht?
>
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> Falls [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] verschiedene Buchstaben sind, dann
> enthält x [mm]n(a_{1})[/mm] Buchstaben [mm]a_{1}[/mm] und [mm]n(a_{2})[/mm]
> Buchstaben [mm]a_{2},[/mm] insgesamt also mindestens [mm]n(a_{1})[/mm] +
> [mm]n(a_{2})[/mm] Buchstaben.
> > Nachfrage: Verstehe ich es richtig, dass wenn ich 5x A
> und 3x B habe die Aussage somit korrekt bewiesen ist, weil
> mindestens 8 Buchstaben vorhanden sind?
¨
Hallo Tim,
nach etwa drei- oder viermaligem Durchlesen habe ich
verstanden, was gemeint ist.
x soll offenbar für ein "Wort" oder besser gesagt eine
Zeichenkette stehen, welche aus Zeichen ("Buchstaben")
[mm] a_k [/mm] eines gewissen Grund-Alphabets besteht.
Wenn für jedes in Frage kommende k die Zahl [mm] n(a_k) [/mm] die
Anzahl der in der Zeichenkette x auftretenden Zeichen [mm] a_k
[/mm]
bezeichnet, und wenn dann [mm] n(a_i)\not=n(a_j) [/mm] ist, dann
müssen offenbar [mm] a_i [/mm] und [mm] a_j [/mm] tatsächlich verschiedene
Zeichen des Alphabets sein, und dann folgt auch
$\ [mm] L\ddot{a}nge(x)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=1}^{k_{max}}n(a_k)\ \ge n(a_i)+n(a_j)$ [/mm]
Was jedoch bei euch genau als "Beweis" erwartet ist,
ist mir doch noch nicht so ganz klar.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:27 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al,
> Was jedoch bei euch genau als "Beweis" erwartet ist,
> ist mir doch noch nicht so ganz klar.
Tim hat offenbar eine Musterlösung zitiert. Sie gibt also wieder, was erwartet wurde.
Daraus ergibt sich, dass es hier wohl weniger um den eigentlichen Knackpunkt ging, dass die Länge eines Wortes gleich der Summe der Anzahlen des Auftretens der (verschiedenen) Zeichen ist. Stattdessen liegt das Augenmerk darauf, wie sich die Wahrheit einer Wenn-Dann-Aussage beweisen lässt. Für uns erfahrenere Mathematiker ist der Umgang mit Wenn-Dann-Aussagen schon so selbstverständlich, dass wir darauf im Normalfall gar nicht mehr eingehen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:18 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Tim und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Seien [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] zwei Buchstaben und [mm]n(a_{1})[/mm] und
> [mm]n(a_{2})[/mm] zwei Zahlen.
> Wenn x [mm]n(a_{1})[/mm] Buchstaben [mm]a_{1}, n(a_{2})[/mm] Buchstaben
> [mm]a_{2}[/mm] enthält und [mm]n(a_{1})[/mm] < [mm]n(a_{2})[/mm] dann enthält x
> mindestens [mm]n(a_{1})[/mm] + [mm]n(a_{2})[/mm] Buchstaben.
>
> Behauptung: Die Aussage ist wahr.
>
> Beweise die Behauptung.
> Es liegt folgender Beweis vor:
> Beweis
> Wir müssen nur den Fall, dass die wenn-Aussage wahr ist,
> näher untersuchen.
> > Nachfrage: Wann ist die Aussage falsch?
Die wenn-Aussage (ich möchte sie mit A abkürzen)
"x enthält (genau) [mm]n(a_{1})[/mm] Buchstaben [mm]a_{1}[/mm], (genau) [mm]n(a_{2})[/mm] Buchstaben [mm]a_{2}[/mm] und [mm]n(a_{1})[/mm] < [mm]n(a_{2})[/mm]."
ist falsch genau dann, wenn
x nicht (genau) [mm] $n(a_1)$ [/mm] Buchstaben [mm] $a_1$ [/mm] enthält
oder
x nicht (genau) [mm] $n(a_2)$ [/mm] Buchstaben [mm] $a_2$ [/mm] enthält
oder
nicht [mm] $n(a_1)
Sei $B$ die Aussage
"x hat mindestens [mm]n(a_{1})[/mm] + [mm]n(a_{2})[/mm] Buchstaben."
Zu zeigen ist, dass die Aussage (ich möchte sie C nennen)
"Wenn A, dann B"
wahr ist.
> Warum wird dann
> kein Beweis mehr benötigt?
Die als wahr zu beweisende Aussage C ist ja nur, dass B gilt, WENN A gilt.
Über den Fall, dass A nicht gilt, sagt C ja gar nichts aus.
Wenn du möchtest, kannst du dir das auch an der Wahrheitstafel von C in Abhängigkeit der Wahrheitswerte von A und B klarmachen:
Falls A nicht gilt, ist C sowieso wahr.
Die Frage ist, ob C auch im Falle, dass A gilt, wahr ist.
> Falls [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] derselbe Buchstabe sind, dann gilt
> [mm]n(a_{1})[/mm] = [mm]n(a_{2})[/mm] und die wenn-Aussage ist falsch.
> > Nachfrage: Wie kommt man zu der These, dass der gleiche
> Buchstabe automatisch der gleichen Anzahl entspricht?
Falls [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] den gleichen Buchstaben bezeichnet, dann kommen [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] natürlich in x genau gleich häufig vor.
> Falls [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] verschiedene Buchstaben sind, dann
> enthält x [mm]n(a_{1})[/mm] Buchstaben [mm]a_{1}[/mm] und [mm]n(a_{2})[/mm]
> Buchstaben [mm]a_{2},[/mm] insgesamt also mindestens [mm]n(a_{1})[/mm] +
> [mm]n(a_{2})[/mm] Buchstaben.
> > Nachfrage: Verstehe ich es richtig, dass wenn ich 5x A
> und 3x B habe die Aussage somit korrekt bewiesen ist, weil
> mindestens 8 Buchstaben vorhanden sind?
Genau.
Viele Grüße
Tobias
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Vielen Dank für Deine Hilfe, soweit ist alles ok, bis auf eine Sache:
In dem Beweis führen wir eine Fallunterschiedung durch, ob [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] gleiche oder unterschiedliche Buchstaben sind.
Meine Frage ist nur: Ich wäre nicht darauf gekommen diese zwei Fälle zu unterscheiden.
Ich kann doch auch den gleichen Buchstaben für [mm] a_{1} [/mm] haben, beispielweise B und für [mm] a_{2} [/mm] auch den Buchstaben B aber jeweils für [mm] n(a_{1}) [/mm] 3x und für [mm] n(a_{2}) [/mm] 5x.
Dann hätte ich ja 3x B und nochmal 5x B.
Das würde die Aussage ja auch erfüllen, ohne das ich prüfen müsste, ob die Buchstaben gleich sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> In dem Beweis führen wir eine Fallunterschiedung durch, ob
> [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] gleiche oder unterschiedliche Buchstaben
> sind.
> Meine Frage ist nur: Ich wäre nicht darauf gekommen diese
> zwei Fälle zu unterscheiden.
> Ich kann doch auch den gleichen Buchstaben für [mm]a_{1}[/mm]
> haben, beispielweise B und für [mm]a_{2}[/mm] auch den Buchstaben B
> aber jeweils für [mm]n(a_{1})[/mm] 3x und für [mm]n(a_{2})[/mm] 5x.
Die Wenn-Aussage aus der Aufgabenstellung ist etwas missverständlich formuliert.
Gemeint ist, dass x GENAU [mm] $n(a_1)$ [/mm] oft den Buchstaben [mm] $a_1$ [/mm] und GENAU [mm] $n(a_2)$ [/mm] oft den Buchstaben [mm] $n(a_2)$ [/mm] enthält.
Falls [mm] $a_1=a_2=B$ [/mm] gilt, kann x nicht gleichzeitig den Buchstaben [mm] $a_1=B$ [/mm] genau 3 mal und den Buchstaben [mm] $a_2=B$ [/mm] genau 5 mal enthalten.
> Dann hätte ich ja 3x B und nochmal 5x B.
> Das würde die Aussage ja auch erfüllen, ohne das ich
> prüfen müsste, ob die Buchstaben gleich sind.
Stände in der Wenn-Aussage nicht die Bedingung [mm] $n(a_1)
Denke etwa an das Wort $x=BBB$, [mm] $a_1=a_2=B$ [/mm] und [mm] $n(a_1)=n(a_2)=3$.
[/mm]
Dann wäre die Wenn-Aussage (ohne die Bedingung [mm] $n(a_1)
Die Dann-Aussage lautet aber, dass $x$ (genau) [mm] $n(a_1)+n(a_2)=6$ [/mm] mal den Buchstaben B enthält, was offensichtlich falsch ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Do 17.10.2013 | | Autor: | Desaster3 |
Merci :)
Hat mir sehr gut geholfen!
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