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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Beweisprinzip Induktion
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Beweisprinzip Induktion: Beweis, Induktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Fr 24.10.2014
Autor: Michi4590

Hey Leute,

ich habe die Aufgabenstellung: Überprüfen Sie für: 9 teilt die Summe der dritten Potenzen von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen.

So, angefangen habe ich so:

9 I (n+1)³ + (n+2)³ + (n+3)³

Induktionsanfang: [mm] n_0 [/mm] = 1

Somit kommt als Ergebnis 99 raus und das ist durch 9 teilbar.

Dann zum Induktionsschritt:

(n+1+1)³ + (n+1+2)³ + (n+1+3)³


Ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter und wäre Euch für Hilfe dankbar :-)

        
Bezug
Beweisprinzip Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Fr 24.10.2014
Autor: fred97

Ich würde die Behauptung so formulieren:

  für jedes n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm]  durch 9 teilbar.

Du machst jetzt mal den Induktionsanfang (n=1).

Dann solltest Du die Induktionsvoraussetzung (IV) klar formulieren:

IV:  sei n [mm] \in \IN [/mm] und sei [mm] n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm]  durch 9 teilbar.

Zum Induktionschritt: unter der IV ist nun zu zeigen, dass

    [mm] (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3 [/mm]  durch 9 teilbar ist.

Damit Du die IV verwenden kannst, muss irgendwo der Term [mm] a_n:=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 [/mm] in Deine Überlegungen Einzug halten ! Das kriegst Du so hin:

     [mm] (n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3 =a_n+(n+3)^3-n^3. [/mm]

Nach IV ist [mm] a_n [/mm] teilbar durch 9. Du musst also nur noch zeigen, dass [mm] (n+3)^3-n^3 [/mm] durch 9 teilbar ist. Das solltest Du aber schaffen, indem Du [mm] (n+3)^3-n^3 [/mm] einfach ausmultiplizierst.

FRED

  



Bezug
                
Bezug
Beweisprinzip Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:23 So 26.10.2014
Autor: Michi4590

Vielen Dank für deine Antwort und Hilfestellung :-)

Bezug
                        
Bezug
Beweisprinzip Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:27 So 26.10.2014
Autor: chrisno

Hallo Michi4590,

ich habe Deinen letzten Beitrag in eine Mitteilung umgewandelt. Ich nehme an, das war von Dir auch so gemeint.

Bezug
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