www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Abbildungen" - Bild und Dimension
Bild und Dimension < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bild und Dimension: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 So 21.12.2014
Autor: Nyuu

Aufgabe
Korrolar 3. Sei dim V = dim W [mm] <\infty [/mm] und [mm] F:V\to [/mm] W linear. Dann sind folgende Bedingungen gleichwertig:

i) F injektiv
ii) F surjektiv
iii) F bijektiv

Mir ist das Korrolar noch nicht so ganz klar. Dies sind folgerungen aus der Dimensionsformel:

dim V = dim Im F + dim Ker F

Der Zusammenhang ist klar, alles was im Kern zur 0 wird, geht im Bild verloren.

Nun weiß ich auch, dass F injektiv [mm] \Leftrightarrow [/mm] Ker F = {0}


Es gilt also i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii).

Sei also F injektiv. Dann ist Ker F = {0}.

Damit ergibt sich dann dim V = dim Im F + 0.

Aber wieso kann ich dann von der dimension des Bildes auf die Surjektivität schließen.

Surjektivität heißt ja nichts anderes als F(V) = W.
Wegen: dim V = dim Im F = dim W, gilt ja dass beide Vektorräume V und W, die gleiche Basislänge haben. Nichts anderes sagt mir ja die dimension.

Also spannen beide den gleichen raum auf, also intuitiv ist das schon klar aber muss man nicht genauer begründen warum man von der Dimension auf die Surjektivität schließen kann. Irgendwie wird mir nicht ganz klar warum das einfach so machbar ist.



        
Bezug
Bild und Dimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 So 21.12.2014
Autor: andyv

Hallo,

Du hast dim W=dim Im F und ferner [mm] $\mathrm{Im} \,F\subset [/mm] W$, daraus folgt Im F=W mit dem Basisergänzungssatz.

Liebe Grüße

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de