Binomialkoeffizient, Beweis < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Man gebe einen kombinatorischen Beweis an für die Binomialidentität:
[mm] \vektor{n \\ k}\vektor{k\\ m}= \vektor{n \\ m}\vektor{n-m \\ k-m} [/mm] |
Hallo,
[mm] \vektor{n \\ k} [/mm] -> ANzahl der Möglichkeiten von n Elementen k auszuwählen. Übrig bleiben jeweils n-k Elemente.
[mm] \vektor{k\\ m} [/mm] -> Anzahl der Möglichkeiten von m Elementen aus disen k von vorhin ausgewählten Elementen - auszuwählen. Übrig sind k-m Elemente.
Die Multiplikation ist als Und verknüpfung zu sehen oder wie? Ich schaff das nicht "zusammenzustoppeln".
Kann mir wer helfen bei der kombinatorischen Überlegung dazu?
Mfg Lu
Liebe Grüße
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Hallo Lu-,
ich spar mir mal die Arbeit. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Es gäbe vielleicht etwas bildlichere Interpretationen. Dazu ist die Identität [mm] \vektor{n\\m}=\vektor{n\\n-m} [/mm] sicher hilfreich.
Man könnte also auch zeigen [mm] \vektor{n\\k}*\vektor{k\\m}=\vektor{n\\n-m}*\vektor{n-m\\k-m}
[/mm]
Kombinatorisch wäre der Beweis, wenn du z.B. anschaulich zeigen könntest, dass es genauso viele Möglichkeiten gibt, aus n Personen k auszuwählen und m Personen davon eine rote Kappe aufzusetzen (die übrigen k-m dürfen dann natürlich keine rote Kappe aufhaben), wie es Möglichkeiten gibt, aus n Personen n-m auszuwählen und k-m davon eine rote Kappe aufzusetzen (bla... s.o.). Warum ist das so?
Nimm n=7, k=5, m=3 und überleg mal, wie Du da argumentieren kannst.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Fr 12.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
dazu eine Frage:
> Kombinatorisch wäre der Beweis, wenn du z.B. anschaulich zeigen könntest, dass es genauso viele Möglichkeiten gibt, aus n Personen k auszuwählen und m Personen davon eine rote Kappe aufzusetzen (die übrigen k-m dürfen dann natürlich keine rote Kappe aufhaben), wie es Möglichkeiten gibt, aus n Personen n-m auszuwählen und k-m davon eine rote Kappe aufzusetzen (bla... s.o.). Warum ist das so?
> Nimm n=7, k=5, m=3 und überleg mal, wie Du da argumentieren kannst.
Im ersten Fall sollen m Personen rot sein= Im Bsp:3
Im zweiten Fall sollen k-m Personen = Im Bsp: 2
Ist das nicht was schief gelaufen?
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Hallo Lu-,
> Kombinatorisch wäre der Beweis, wenn du z.B. anschaulich
> zeigen könntest, dass es genauso viele Möglichkeiten
> gibt, aus n Personen k auszuwählen und m Personen davon
> eine rote Kappe aufzusetzen (die übrigen k-m dürfen dann
> natürlich keine rote Kappe aufhaben), wie es
> Möglichkeiten gibt, aus n Personen n-m auszuwählen und
> k-m davon eine rote Kappe aufzusetzen (bla... s.o.). Warum
> ist das so?
>
> > Nimm n=7, k=5, m=3 und überleg mal, wie Du da
> argumentieren kannst.
>
> Im ersten Fall sollen m Personen rot sein= Im Bsp:3
> Im zweiten Fall sollen k-m Personen = Im Bsp: 2
>
> Ist das nicht was schief gelaufen?
Nein, wieso? Lies doch nochmal die zu zeigende Aussage. Niemand verlangt, dass m=k-m sein muss!
Allerdings muss gelten: [mm] m\le k\le{n}.
[/mm]
Vielleicht ist n=99, k=80, m=5 besser?
Es ist zugegeben gar nicht einfach, hier rein kombinatorisch zu argumentieren. Die Aussage ist unanschaulich, und vielleicht sind die roten Mützen ja auch nicht die beste Repräsentation.
Ich lasse die Frage halboffen. Vielleicht hat jemand eine anschaulichere Idee.
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
für mein neues Möbelhaus brauche ich ein Team von k Leuten. Davon sollen m Personen im Haus unterwegs und als Ansprechpartner für die Kunden weithin erkennbar sein, weswegen sie immer eine rote Kappe tragen sollen. Die übrigen k-m Personen machen andere Arbeiten, je nach Tageseinteilung.
Nun habe ich n Bewerber, aus denen ich mein Team zusammenstellen kann.
Dann besagt die Identität folgendes:
1) Ich wähle erst das gesamte Team aus: [mm] \vektor{n\\k}
[/mm]
Nach einer Einarbeitungsphase habe ich einen genaueren Eindruck von meinen Mitarbeitern und kann die Ansprechpartner auswählen: [mm] \vektor{k\\m}
[/mm]
Oder:
2) Ich achte in den Vorstellungsgesprächen erst einmal auf Kommunikativität und Auftreten und stelle zuerst meine Kundenberater/Ansprechparter ein: [mm] \vektor{n\\m}
[/mm]
Dann bleiben noch n-m Bewerber, aus denen ich die fehlenden k-m Personen für mein Team auswähle: [mm] \vektor{n-m\\k-m}
[/mm]
Die Zahl der Möglichkeiten ist aber in beiden Fällen gleich.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Do 18.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke, danke, danke.
Das Bsp passt wirklich perfekt,HAMMER!!
LG
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