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Borelsche Sigma-Algebra 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:48 Fr 10.11.2017
Autor: Reynir

Hi,
ich setze hier meinen ersten Thread fort.
Eine weitere Frage, die sich mir in dem Bereich stellt und der Anlass zur ersten war ist die, dass man sogar sagen kann, dass der Ring der Figuren [mm] $F^n$, [/mm] also aller endlichen Quadervereinigungen die Borelsche Sigma-Algebra erzeugt. Ich habe die Inklusion [mm] $\subset$ [/mm] gezeigt, aber bin an [mm] $\sigma(offene [/mm] Mengen) [mm] \supset \sigma(F^n)$ [/mm] gescheitert. Da wir als Quader alle beliebigen achsenparallelen Quader zugelassen hatten, wusste ich nicht, wie ich das zeigen soll.
Viele Grüße
Reynir

        
Bezug
Borelsche Sigma-Algebra 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Fr 10.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

es gilt [mm] $F_n \subseteq \sigma(\text{'offene Mengen'})$ [/mm] und daraus folgt sofort [mm] $\sigma(F_n) \subseteq \sigma(\text{'offene Mengen'})$. [/mm]

Dass die erste Inklusion gilt, zeigt man einfach direkt, indem man nachweist, dass alle Quaderformen in [mm] $\sigma(\text{'offene Mengen'\})$ [/mm] liegen.
Dann hast du schon mal sowas wie [mm] $(\text{'alle Quaderformen'}) \subseteq \sigma(\text{'offene Mengen'})$. [/mm]

Da [mm] $F_n$ [/mm] der Ring dieser Quaderformen ist und damit nur aus Mengenoperationen gebildet wird, die auch in einer Sigma-Algebra erlaubt sind, bleibt dieser auch vollständig in der Sigma-Algebra und du bekommst [mm] $F_n \subseteq \sigma(\text{'offene Mengen'})$ [/mm] woraus die gewünschte Eigenschaft folgt.

Dass alle Quaderformen in der Sigma-Algebra liegen, ist zu zeigen, das ist aber (wie in der anderen Fragestellung angemerkt) annähernd trivial.

Mal als Beispiel in [mm] $\IR$ [/mm] wo die Quader ja Intervalle sind: Offene Intervalle sind trivial in den offenen Mengen enthalten.
Geschlossene Intervalle bekommst du dann per $[a,b] = [mm] \bigcap_{n \in \IN} \left(a - \frac{1}{n},b+\frac{1}{n}\right)$ [/mm]

Halboffene etc analog.

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Borelsche Sigma-Algebra 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 Sa 11.11.2017
Autor: Reynir

Hallo Gono,
vielen Dank für deine Antwort.
Ich muss jetzt mal ganz blöd fragen, an welche Sorten von Quadern hast du gedacht, sprich halboffen, abgeschlossen und offen? Weil bei uns in der Vorlesung war ein Quader als kartesisches Produkt nicht näher definierter Intervalle definiert. Es dürfte demnach auch so etwas, wie [mm] $I_1\times ...\times \left(a_i,b_i\right)\times...\times \left[a_j,b_j\right]\times ...\times I_n$ [/mm] als achsenparalleler Quader gelten, oder? Ändert das was an der Beweisführung oder geht man da genau so vor?

Bezug
                        
Bezug
Borelsche Sigma-Algebra 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Sa 11.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> an welche Sorten von Quadern hast du gedacht, sprich halboffen, abgeschlossen und offen?

Jo, an diese. Wobei ich persönlich aus praktischen Gründen die halboffenen bevorzuge :-)

> Weil bei uns in der Vorlesung war ein Quader als kartesisches Produkt nicht näher definierter Intervalle definiert. Es dürfte demnach auch so etwas, wie [mm]I_1\times ...\times \left(a_i,b_i\right)\times...\times \left[a_j,b_j\right]\times ...\times I_n[/mm] als achsenparalleler Quader gelten, oder?

Also wenn [mm] I_1 [/mm] und [mm] I_n [/mm] Intervalle sind (egal was für welche) dann ja.

> Ändert das was an der Beweisführung oder geht man da genau so vor?

Das ändert gar nichts. Jeder achsenparallele Quader lässt sich als Schnitt von abzählbar vielen offenen Quadern darstellen. Egal ob da offene, geschlossene, halboffene oder gemischte Intervalle drin vorkommen.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
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Borelsche Sigma-Algebra 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Sa 18.11.2017
Autor: Reynir

Hallo Gono,
auch hier vielen Dank für deine Antwort.
Viele Grüße
Reynir

Bezug
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