www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "stochastische Prozesse" - Brownsche Bewegung Inversion Z
Brownsche Bewegung Inversion Z < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Prozesse"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Brownsche Bewegung Inversion Z: Prüfungsvorbereitung Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Do 28.07.2016
Autor: Rocky14

Aufgabe
Sei [mm] (B_t) [/mm] eine standardisierte Brownsche Bewegung (stBB). Dann ist der Prozess [mm] (Z_t) [/mm] gegeben durch [mm] Z_t=tB_{1/t} [/mm] falls t>0 und 0 falls t=0 wieder eine stBB.

Hallo Leute,
ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung in Wtheorie 2 und verstehe obigen Beweis einfach nicht aus unserer Vorlesung. Kann mir hier vllt jemand helfen und mir den erklären?

Wir müssen überprüfen, ob der Prozess rechtsseitig stetig in 0 ist.
#Klar, da eine StBB stetig ist und für t>0 ist der Prozess offensichtlich stetig
Sei nun [mm] (t_n) [/mm] eine Folge aus [mm] [0,\infty) [/mm] mit [mm] t_n \rightarrow [/mm] 0, d.h. [mm] m_n [/mm] = [mm] \dfrac {1}{t_n} \rightarrow [/mm]  0.
Es gilt mit einem Teleskopsummenargument:
[mm] Z_t=tB_{1/t} [/mm] = [mm] \drfac {1}{\dfrac {1}{t_n} } \sum_{i=1}^{m_n} (B_i [/mm]  - [mm] B_{i-1}) [/mm] + drfac [mm] {1}{\dfrac {1}{t_n} } (B_{\dfrac {1}{t_n}}-B_{m_n}) [/mm]
Der 1. Teil (der mit der Summe) konvergiert gegen 0 nach dem starken Gesetz der großen Zahlen.
# Argumentation habe ich verstanden, also lasse ich das mal aus.
Ferner folgt:
[mm] \IP (sup_{n \in [n,n+1]} |B_u [/mm] - [mm] B_n| [/mm] > n [mm] \varepsilon) [/mm]
= [mm] \IP (sup_{u \in [0,1]} B_u [/mm]  > n [mm] \varepsilon) [/mm]
= 2 [mm] \IP(B_1 [/mm] > n [mm] \varepsilon) [/mm]
[mm] \le [/mm]  exp [mm] (-\dfrac{n^{2}\varepsilon^{2}}{2} [/mm] )
# Verstehe hier die Argumentation nicht. Vor allem: wie komme ich auf die Abschätzung mit der Exponentialfunktion?
Die Supermarkt sind messbar.
Mit dem Lemma von Borel-Cantelli folgt daraus, dass 1/n [mm] sup_{n \in [n,n+1]} |B_u [/mm] - [mm] B_n| \rightarrow [/mm]  0 fast sicher und somit [mm] Z_t \rightarrow [/mm]  0.
# Warum folgt damit jetzt die Behauptung?

Bin dankbar für jeden Hinweis. Zusätzlich muss man noch die Kovarianzstruktur nachrechnen, das habe ich verstanden und geschafft.
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe!

        
Bezug
Brownsche Bewegung Inversion Z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Mo 01.08.2016
Autor: huddel


> Sei [mm](B_t)[/mm] eine standardisierte Brownsche Bewegung (stBB).
> Dann ist der Prozess [mm](Z_t)[/mm] gegeben durch [mm]Z_t=tB_{1/t}[/mm] falls
> t>0 und 0 falls t=0 wieder eine stBB.
>  Hallo Leute,
> ich lerne gerade für eine mündliche Prüfung in Wtheorie
> 2 und verstehe obigen Beweis einfach nicht aus unserer
> Vorlesung. Kann mir hier vllt jemand helfen und mir den
> erklären?
>
> Wir müssen überprüfen, ob der Prozess rechtsseitig
> stetig in 0 ist.
> #Klar, da eine StBB stetig ist und für t>0 ist der Prozess
> offensichtlich stetig
>  Sei nun [mm](t_n)[/mm] eine Folge aus [mm][0,\infty)[/mm] mit [mm]t_n \rightarrow 0[/mm] , d.h. [mm]m_n[/mm] = [mm]\dfrac {1}{t_n} \rightarrow 0[/mm].

Hm, ich geh mal davon aus, du meinst [mm] $m_n$ $\to$ $\infty$ [/mm]

>  Es gilt mit einem Teleskopsummenargument:
>  [mm]Z_t=tB_{1/t}[/mm] = [mm]\drfac {1}{\dfrac {1}{t_n} } \sum_{i=1}^{m_n} (B_i[/mm] - [mm]B_{i-1})[/mm] + drfac [mm]{1}{\dfrac {1}{t_n} } (B_{\dfrac {1}{t_n}}-B_{m_n})[/mm]

Hier denke ich, dass du dich mit dem drfrac einfach nur verschrieben hast. Die gleichung ergibt so aber momentan noch nicht so viel Sinn.
1.: du hast links eine Abhängigkeit von $t$ rechts von [mm] $t_n$ [/mm]
2.: du hast vor den beiden Summanden ein [mm] $\frac{1}{t_n}$ [/mm] stehen, ich denke das sollte einfach nur ein [mm] $t_n$ [/mm] sein, das kommt wohl dadurch dass du eine doppelte dfrac-umgebung nutzt. Ist aber missverständlich.
3.: du hast [mm] $t_n$ [/mm] nicht weiter definiert. Damit kann es sein, dass [mm] $m_n$ [/mm] keine natürliche Zahl ist.
4.: so wie ich das sehe ist der 2. Summand per Definition $0$, [mm] $\frac{1}{t_n} [/mm] = [mm] m_n$ [/mm]

> Der 1. Teil (der mit der Summe) konvergiert gegen 0 nach
> dem starken Gesetz der großen Zahlen.

Genauer, das starke gesetzt sagt nur, dass das (wenn du [mm] $\frac{1}{t_n}$ [/mm] mit [mm] $t_n$ [/mm] austauschst und dann noch etwas sauberer arbeitest) gegen den Erwartungswert.

> # Argumentation habe ich verstanden, also lasse ich das mal
> aus.
>  Ferner folgt:
>  [mm]\IP (sup_{n \in [n,n+1]} |B_u[/mm] - [mm]B_n|[/mm] > n [mm]\varepsilon)[/mm]

ich denke das sollte $u [mm] \in [/mm] [0,1]$ heißten. Stichwort "stationäre Inkremente" [mm] $(B_t-B_s) \sim (B_{t-s}-B_0) \sim (B_{t-s})$ [/mm]

>  = [mm]\IP (sup_{u \in [0,1]} B_u[/mm]  > n [mm]\varepsilon)[/mm]

ich denke hier sollte noch ein Betrag um das [mm] $B_u$ [/mm] sein. damit ergibt die $2$ gleich auch sinn (Warum?)

>  = 2 [mm]\IP(B_1[/mm] > n [mm]\varepsilon)[/mm]

warum man hier nun das supremum wegwerfen kann ist mir nun nicht so klar, aber vllt fällt dir da ja noch was ein.

>  [mm]\le[/mm]  exp [mm](-\dfrac{n^{2}\varepsilon^{2}}{2}[/mm] )

Okey, hier hatte ich grad noch eine Antwort, aber die war murks. Muss ich mir nochmal gedanken drüber machen.

>  # Verstehe hier die Argumentation nicht. Vor allem: wie
> komme ich auf die Abschätzung mit der
> Exponentialfunktion?
>  Die Supermarkt sind messbar.
>  Mit dem Lemma von Borel-Cantelli folgt daraus, dass 1/n
> [mm]sup_{n \in [n,n+1]} |B_u[/mm] - [mm]B_n| \rightarrow[/mm]  0 fast sicher
> und somit [mm]Z_t \rightarrow[/mm]  0.
>  # Warum folgt damit jetzt die Behauptung?

Naja, zu zeigen war doch, dass $Z$ stetig in der $0$ ist. du hast gezeigt, dass [mm] $Z_{t_n}$ [/mm] für jede Nullfolge [mm] $t_n$ [/mm] gegen $0$ konvergiert, also folgenstetig ist (natürlich alles almost sure).

> Bin dankbar für jeden Hinweis. Zusätzlich muss man noch
> die Kovarianzstruktur nachrechnen, das habe ich verstanden
> und geschafft.

hm, ich frag trotzdem mal ganz doof: was hast du da denn alles gezeigt? (nicht den ganzen beweis, sondern nur die Aussagen)

>  Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe!

Ich hoffe ich konnte wenigstens ein bisschen helfen :)


Bezug
                
Bezug
Brownsche Bewegung Inversion Z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:12 Mo 01.08.2016
Autor: huddel

nachtrag zum exp-term:

Betrachte:
[mm] $\int_y^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx [/mm]

substituiere [mm] $\varphi(x) [/mm] = x+y$, dann gilt:

[mm] $\int_y^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx [/mm] = [mm] $\int_{\varphi(0)}^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty \exp(-\frac{(x+y)^2}{2})dx [/mm] = [mm] \int_0^\infty \exp( [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] - xy - [mm] \frac{y^2}{2})dx$ [/mm]

weiter gilt mit $0 [mm] \le \exp(-\frac{x^2}{2}) \le [/mm] 1$:

[mm] $\exp(\frac{y^2}{2}) \cdot \int_0^\infty \exp( [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] - xy - [mm] \frac{y^2}{2})dx [/mm] =  [mm] \int_0^\infty \exp( [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] - xy)dx [mm] \le \int_0^\infty \exp(- [/mm] xy)dx = - [mm] \frac{1}{y}\exp(-xy)\Bigr|_0^\infty [/mm] = 0 - (- [mm] \frac{1}{y})$ [/mm]

Folglich gilt:

[mm] $\int_y^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx \le \frac{\exp(- \frac{y^2}{2})}{y}$ [/mm]

jetzt betrachtet man $y = n [mm] \varepsilon$ [/mm] und erhällt für $n [mm] \ge \frac{1}{\varepsilon}$, [/mm] dass

[mm] $\mathbb{P}(B_1 [/mm] > [mm] n\varepsilon) [/mm] = [mm] \int_{n\varepsilon}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-\frac{x^2}{2})dx \le \int_{n\varepsilon}^\infty \exp(-\frac{x^2}{2})dx \le \exp(- \frac{(n\varepsilon)^2}{2}) [/mm]

wo die $2$ nun hinverschwunden ist, weiß ich auch nicht so genau, aber konstanten ändern an der Konvergenz ja eh nichts.

LG
Huddel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "stochastische Prozesse"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de