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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Cayley Hamilton
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Cayley Hamilton: Verständinsprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Di 28.03.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Wir betrachten Matm(K) als K-Vektorraum.
a) Sei A ∈ Matm(K). Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um An ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1) für alle ganzen Zahlen n ≥ 1 zu zeigen.
b) Sei nun A ∈ GLm(K). Zeigen Sie A−1 ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1).

Hallo,
ich weiss, dass der Satz von Hamilton aussagt, dass A eine Nullstelle zu seinem charakteristischen Polynom ist. also p(A) = 0
Aber ich verstehe den Zusammenhang zum spann einfach nicht richtig. Ich wäre froh mir könnte da jemand helfen.
Spann ist ja in dem Fall:
[mm] a_1*E_M [/mm] + [mm] a_2*A [/mm] + ... + a_(m-1)*A
mit [mm] a_1,...,a_m \in [/mm] K ?
Danke

        
Bezug
Cayley Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Di 28.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Wir betrachten Matm(K) als K-Vektorraum.
> a) Sei A ∈ Matm(K). Verwenden Sie den Satz von
> Cayley-Hamilton, um An ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1) für
> alle ganzen Zahlen n ≥ 1 zu zeigen.
> b) Sei nun A ∈ GLm(K). Zeigen Sie A−1 ∈
> Spann(Em,A,A2,...,Am−1).
>  Hallo,
> ich weiss, dass der Satz von Hamilton aussagt, dass A eine
> Nullstelle zu seinem charakteristischen Polynom ist. also
> p(A) = 0
> Aber ich verstehe den Zusammenhang zum spann einfach nicht
> richtig. Ich wäre froh mir könnte da jemand helfen.

Hallo,

A ist eine [mm] m\times [/mm] m-Matrix.
Ihr charakteristisches Polynom  [mm] \chi [/mm] _{A} ist ein normiertes Polynom vom Grad m.
Also ist  [mm] \chi [/mm] _{A}(x [mm] )=x^{m}+a_{m-1}x^{{m-1}}+a_{m-2}x^{{m-2}}+...+a_1x+a_{0}. [/mm]

Nun nutze den Satz von Hamilton-Cayley, setze also für x die Matrix A ein...

LG Angela


> Spann ist ja in dem Fall:
> [mm]a_1*E_M[/mm] + [mm]a_2*A[/mm] + ... + a_(m-1)*A
>  mit [mm]a_1,...,a_m \in[/mm] K ?
>  Danke  


Bezug
                
Bezug
Cayley Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Di 28.03.2017
Autor: mariella22

Hallo,
vielen Dank,

eingesetzt ist das Polynom gleich dem Spann bis auf [mm] a_m*A^m [/mm]
also is der Spann bis auf das gleich 0?
Dann wäre also zu zeigen das
A [mm] \in spann(A^m) [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Cayley Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 Di 28.03.2017
Autor: angela.h.b.


> Hallo,
> vielen Dank,
>
> eingesetzt ist das Polynom gleich dem Spann bis auf [mm]a_m*A^m[/mm]
> also is der Spann bis auf das gleich 0?

???

Ich weiß nicht, was Du meinst.

Daß A, [mm] A^2,...,A^{m-1} [/mm] im [mm] Spann(E_m,A,A^2,...,A^{m-1}) [/mm] ist, sollte nicht erstaunlich sein, denn z.B. ist

[mm] A^2=0*E_m+0*A+1*A^2+0*A^3+...+0*A^{m-1}. [/mm]




Das charakteristische Polynom von A hat den Grad m, ist also so gemacht:

[mm] \chi_{A}(x)=x^{m}+a_{m-1}x^{{m-1}}+a_{m-2}x^{{m-2}}+...+a_1x+a_{0}. [/mm]

Hamiton-Cayley sagt: [mm] Nullmatrix=A^{m}+a_{m-1}A^{{m-1}}+a_{m-2}A^{{m-2}}+...+a_1A+a_{0}E_m [/mm]

> Dann wäre also zu zeigen das
> A [mm]\in spann(A^m)[/mm] ?

Ist [mm] A^m [/mm] im [mm] spann(E_m,A,A^2,...,A^{m-1})? [/mm] Kannst Du [mm] A^m [/mm] also als Linearkombination dieser Matrizen schreiben?

Und [mm] A^{m+1}=A*A^m? [/mm]

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Cayley Hamilton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:31 Mi 29.03.2017
Autor: mariella22

Danke für die Hilfe! Es hat jetzt geklappt :)

Bezug
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