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Diffentialgleichung: Lösungsansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Sa 22.06.2013
Autor: Richto

Aufgabe
y'+(1/x)*y=1+x

Mein Ansatz wäre:

dy/dx+y/x=1+x

soll ich die Variablen nun trennen oder wie soll ich weiter vorgehen?

Danke im Voraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Sa 22.06.2013
Autor: Thomas_Aut


> y'+(1/x)*y=1+x
>  Mein Ansatz wäre:
>  
> dy/dx+y/x=1+x

Was ist das für ein Ansatz? Du hast einfach für y' : [mm]\frac{dy}{dx}[/mm] geschrieben... sonst hat sich nichts geändert.
Also gut es ist weiterhin eine Diffgl. 1 Ordnung.
Poste doch mal einen wirklichen Ansatz zur Lösung.

Gruß

Thomas

>  
> soll ich die Variablen nun trennen oder wie soll ich weiter
> vorgehen?
>  
> Danke im Voraus
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Diffentialgleichung: Meine Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Sa 22.06.2013
Autor: Richto

Also ich habe mir folgendes gedacht:

dy/dy + y/x = 1+x  dann mal x

dy/dx + y = x²+x   dann mal dx

Int y dy = Int x + x² dx

1/2 y² = 1/2 x² + 1/3 x³ + c

Was habe ich da falsch gemacht?

Bezug
                        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:16 Sa 22.06.2013
Autor: MathePower

Hallo  Richto,

> Also ich habe mir folgendes gedacht:
>  
> dy/dy + y/x = 1+x  dann mal x
>  
> dy/dx + y = x²+x   dann mal dx
>  
> Int y dy = Int x + x² dx
>  
> 1/2 y² = 1/2 x² + 1/3 x³ + c
>  
> Was habe ich da falsch gemacht?


Der Lösungsansatz ist nicht richtig.

Bestimme zunächst die Lösung der homogenen DGL

[mm]y'+\bruch{1}{x}*y=0[/mm]

mit Hilfe der []Separationsmethode.

Bestimme dann die partikuläre Lösung der inhomogenen DGL

[mm]y'+\bruch{1}{x}*y=1+x[/mm]

Mit HIlfe der []Variation der Konstanten.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Diffentialgleichung: Neu
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Sa 22.06.2013
Autor: Richto

Idee:

y'+y = x+x²

yh= [mm] C*e^x [/mm]

yp=Ax²+Bx+c
yp'=2Ax+B

2Ax+B+Ax²+Bx+C = x+x²

A=1
2A+B=1 -> B=-1
B+C=0 -> C=1

yp=x²-x+1

[mm] y=C*e^x+x²-x+1 [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Sa 22.06.2013
Autor: MathePower

Hallo Richto,

> Idee:
>  
> y'+y = x+x²
>  


Die DGL muss doch dann so lauten:

[mm]x*y'+y=x+x^{2}[/mm]


> yh= [mm]C*e^x[/mm]
>  
> yp=Ax²+Bx+c
>  yp'=2Ax+B
>  
> 2Ax+B+Ax²+Bx+C = x+x²
>  
> A=1
>  2A+B=1 -> B=-1

>  B+C=0 -> C=1

>  
> yp=x²-x+1
>  
> [mm]y=C*e^x+x²-x+1[/mm]  


Und markiere Fragen auch als Fragen, nicht als Mitteilungen.
Denn dann ist die Wahrscheinlichkeit grösser, daß Deine Frage
gelesen und beantwortet wird.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Diffentialgleichung: Lösung stimmt nicht überein
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Sa 22.06.2013
Autor: Richto

Idee:

y'+y = x+x²

yh= [mm] C*e^x [/mm]

yp=Ax²+Bx+c
yp'=2Ax+B

2Ax+B+Ax²+Bx+C = x+x²

A=1
2A+B=1 -> B=-1
B+C=0 -> C=1

yp=x²-x+1

[mm] y=C*e^x+x²-x+1 [/mm]

Das wäre meine Lösung, aber die stimmt nicht.

Ich muss y=C*1/x + X/2 + x²/3 erhalten.

Wo liegt mein Fehler?

Bezug
                                                        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:49 Sa 22.06.2013
Autor: MathePower

Hallo Richto,

> Idee:
>
> y'+y = x+x²
>
> yh= [mm]C*e^x[/mm]
>  
> yp=Ax²+Bx+c
> yp'=2Ax+B
>
> 2Ax+B+Ax²+Bx+C = x+x²
>
> A=1
> 2A+B=1 -> B=-1
> B+C=0 -> C=1
>
> yp=x²-x+1
>
> [mm]y=C*e^x+x²-x+1[/mm]
>  
> Das wäre meine Lösung, aber die stimmt nicht.
>  
> Ich muss y=C*1/x + X/2 + x²/3 erhalten.
>  
> Wo liegt mein Fehler?


Wie schon in der vorherigen Antwort erwähnt,
muss die DGL so lauten:

[mm]\red{x}*y'+y=x+x^{2}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Diffentialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Sa 22.06.2013
Autor: Richto

Muss ich denn nicht jetzt das x auf die andere Seite bringen?

Also hätte ich dann: y'+y=(x+x²)/x

Bezug
                                                                        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:11 Sa 22.06.2013
Autor: Thomas_Aut


> Muss ich denn nicht jetzt das x auf die andere Seite
> bringen?
>  
> Also hätte ich dann: y'+y=(x+x²)/x

also du meinst:

xy'+y = [mm] x+x^2 \gdw [/mm] y'+y = [mm] \frac{x+x^2}{x} [/mm] ????

also das ist falsch!

richtig wäre:

[mm]xy' +y = x(1+x) \gdw y' + \frac{1}{x}y = 1+x[/mm]

Nun:

Löse die homogene Diffgleichung:

[mm]y' + \frac{y}{x} = 0[/mm]

danach widme dich der inhomogenen.

Gruß Thomas





Bezug
                                                                                
Bezug
Diffentialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Sa 22.06.2013
Autor: Richto

y'+y/x=0

y'+y=0

y=C*e^-x

das wäre meine Lösung für den homogenen Teil.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Sa 22.06.2013
Autor: Thomas_Aut


> y'+y/x=0
>  
> y'+y=0
>  
> y=C*e^-x
>  
> das wäre meine Lösung für den homogenen Teil.

Ich führe es dir vor:

dir liegt eine DIffgleichung der Form: y'+g(x)y = 0 vor.

nun ist offensichtlich: [mm]g(x) = \frac{1}{x}[/mm]

Ganz allg. kann man sich zum Lösen einer solchen Diffgleichung der Formel:

[mm] y = C*e^{-\integral{g(x) dx}}[/mm] bedienen.

bei dir liefert das also nun:

[mm]y = C*e^{-\integral{\frac{1}{x} dx}} = C*e^{-ln(x)}=\frac{C}{x}[/mm]

Lg THomas

Bezug
        
Bezug
Diffentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Sa 22.06.2013
Autor: MathePower

Hallo Richto,

> y'+(1/x)*y=1+x
>  Mein Ansatz wäre:
>  
> dy/dx+y/x=1+x
>  
> soll ich die Variablen nun trennen oder wie soll ich weiter
> vorgehen?
>  


Siehe dazu diese Antwort.


> Danke im Voraus
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
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