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Forum "Differenzialrechnung" - Differentialrechnung
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Differentialrechnung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:00 Mi 18.05.2011
Autor: RWBK

Aufgabe
Mit Hilfe der Differentialrechnung zeige man ,dass die Summe der beiden Funktionen arctan(x) und arccot(x) konstant ist. Geben Sie den Wert der Konstanten an.



Hallo,

mit dieser Aufgabe komme ich leider noch nicht so wirklich klar. Weiß ehrlich gesagt nicht ganz genau was die von mir wollen. Aber ich hab mich erstmal dran Versuch^^.

Hier erst einmal mein Ansatz:

arctan(x)+arccot(x) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] Dies habe ich in einer Formelsammlung gefunden. Wie man allerdings auf den [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]  kommt weiß ich nicht.
Dann hab ich mir mal so gedacht ich bilde die erste ableitung von arctan(x) und vom arccot(x)
Die lauten dann:
-für f(x)= arctan(x)
f´ [mm] (x)=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm]

und für f(x) = arccot
f´(x)=- [mm] \bruch{1}{1+x^{2}} [/mm]

Die Summe entspricht dann aber nicht  [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Was mache ich falsch? Kann mir jemand die Aufgabe erklären wenn ich etwas falsch mache?

Mfg
RWBK

        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:06 Mi 18.05.2011
Autor: fred97

Du hast nichts falsch gemacht ! Setze

g(x):= arctan(x)+arccot(x)

Dann hast Du richtig gerechnet:

                  g'(x) =0 für jedes x [mm] \in \IR. [/mm]

Damit ist die Funktion g auf [mm] \IR [/mm] konstant, also ist

                     g(x)=g(0)=0 [mm] +\bruch{\pi}{2}= \bruch{\pi}{2} [/mm] für jedes x

FRED

Bezug
                
Bezug
Differentialrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Mi 18.05.2011
Autor: RWBK

Hallo Fred,

danke erst einmal für deine schnelle Antwort. Freut mich das ich was richtig gemacht habe^^. Aber deine Antwort verstehe ich noch nicht ganz.Sorry! Meine funktion f(x) = arctan(x)+arccot(x) [mm] =\bruch{\pi}{2} [/mm]
f´(x) = ...( die Ableitungen eintragen schenke ich mir jetzt mal)=0
Das ist mir bis hier her ist mir alles klar dann ist Schluss. Denn das mit dem g bzw f auf [mm] \IR [/mm] KONSTANT versteh ich noch nicht. Ist vllt einrichtig dumme Frage aber kannst du mir das noch etwas genauer erklären?

Mfg


Bezug
                        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo RWBK,

> Hallo Frad,

Fred? Freud?

>
> danke erst einmal für deine schnelle Antwort. Freud

Freud? Fred? Freut?

> mich
> das ich was richtig gemacht habe^^. Aber deine Antwort
> verstehe ich noch nicht ganz.Sorry! Meine funktion f(x) =
> arctan(x)+arccot(x) [mm]=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> f´(x) = ...( die Ableitungen eintragen schenke ich mir
> jetzt mal)=0
> Das ist mir bis hier her ist mir alles klar dann ist
> Schluss. Denn das mit dem g bzw f auf [mm]\IR[/mm] KONSTANT versteh
> ich noch nicht. Ist vllt einrichtig dumme Frage aber kannst
> du mir das noch etwas genauer erklären?

Nun, die Ableitung ist überall 0, also [mm]f'(x)=0[/mm]

Wie kommst du an f?

Durch Integration, lax geschrieben: [mm]f(x)=\int{f'(x) \ dx}=\int{0 \ dx}=c[/mm], c konstant

Die Konstante c ermittelst du, indem du irgendein reelles Argument in [mm]f[/mm] stopfst, f nimmt ja für alle reellen Argumente denselben Wert c an.

Der Einfachheit halber setze [mm]x=0[/mm] ein:

[mm]c=f(0)=\arctan(0)+\arccot(0)=\pi/2[/mm]


>
> Mfg
>

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Differentialrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:39 Do 19.05.2011
Autor: fred97


> Hallo RWBK,
>  
> > Hallo Frad,
>  
> Fred? Freud?
>  
> >
> > danke erst einmal für deine schnelle Antwort. Freud
>
> Freud? Fred? Freut?
>  

Nennt mich einfach Fräd

FRED

Bezug
                        
Bezug
Differentialrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Do 19.05.2011
Autor: fred97

Ergänzend:

Das dürfte Dir doch bekannt sein (zeigen kann man das mit dem Mittelwertsatz):

Ist I ein Intervall in [mm] \IR [/mm] und $f:I [mm] \to \IR$ [/mm] differenzierbar und gilt f'(x) =0 für jedes x [mm] \in [/mm] I, so ist f auf I konstant.

FRÄD



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