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Forum "Topologie und Geometrie" - Element des Abschlusses
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Element des Abschlusses: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mi 22.10.2014
Autor: Peter_123

Aufgabe
Sei (X,T) ein top. Raum. $x [mm] \in [/mm] X$ und $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ so gilt $x [mm] \in \overline{Y}$ [/mm] genau dann , wenn jede Umgebung von X mit Y nichtleeren Schnitt hat.

Hallo,


Ich habe mir gedacht, dass ich das per Filterbasis des Umgebungsfilters zeige.

also ich möchte die Äquivalenz von

$1) x [mm] \in \overline{Y}$ [/mm]
$2) [mm] \forall [/mm] W [mm] \in \mathbb{W}(x) [/mm] : Y [mm] \cap [/mm] W [mm] \neq \emptyset$ [/mm]

zeigen - wobei [mm] $\mathbb{W}(x)$ [/mm] Filterbasis des Umgebungsfilters ist.

Also:

$ [mm] \x \not\in \overline{Y} \gdw \exists [/mm] B : x [mm] \not\in [/mm] B, [mm] B\supseteq [/mm] Y$
B ist natürlich abgeschlossen. Da aber die Komplemente von B offen sind ist das also äquivalent zu
$ [mm] \exists [/mm] O [mm] \in [/mm] T : x [mm] \in [/mm] O , O [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset$ [/mm]
allerdings stellen die offenen Mengen eine Umgebungsbasis von x dar und damit $1 [mm] \gdw [/mm] 2$

Habt ihr daran was auszusetzen oder findet Fehler? Passt das so?

Lg und danke

Peter_123



        
Bezug
Element des Abschlusses: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Mi 22.10.2014
Autor: fred97


> Sei (X,T) ein top. Raum. [mm]x \in X[/mm] und [mm]Y \subseteq X[/mm] so gilt
> [mm]x \in \overline{Y}[/mm] genau dann , wenn jede Umgebung von X
> mit Y nichtleeren Schnitt hat.
>  Hallo,
>  
>
> Ich habe mir gedacht, dass ich das per Filterbasis des
> Umgebungsfilters zeige.
>  
> also ich möchte die Äquivalenz von
>
> [mm]1) x \in \overline{Y}[/mm]
>  [mm]2) \forall W \in \mathbb{W}(x) : Y \cap W \neq \emptyset[/mm]
>  
> zeigen - wobei [mm]\mathbb{W}(x)[/mm] Filterbasis des
> Umgebungsfilters ist.
>  
> Also:
>  
> [mm]\x \not\in \overline{Y} \gdw \exists B : x \not\in B, B\supseteq Y[/mm]

Dem Quelltext entnehme ich, dass da steht:

[mm]x \not\in \overline{Y} \gdw \exists B : x \not\in B, B\supseteq Y[/mm]

>  
> B ist natürlich abgeschlossen.

Mann, dann formuliere das doch so:

x [mm] \not\in \overline{Y} \gdw \exists [/mm] B : B ist abgeschlossen ,  x [mm] \not\in [/mm] B und [mm] B\supseteq [/mm] Y


> Da aber die Komplemente von
> B offen sind ist das also äquivalent zu
>  [mm]\exists O \in T : x \in O , O \cap Y = \emptyset[/mm]
>  
> allerdings stellen die offenen Mengen eine Umgebungsbasis
> von x dar und damit [mm]1 \gdw 2[/mm]
>  
> Habt ihr daran was auszusetzen oder findet Fehler? Passt
> das so?

Passt ganz gut. Meine Einwände hast Du ja gelesen.

FRED

>  
> Lg und danke
>  
> Peter_123
>  
>  


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