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Empirische Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Di 01.08.2017
Autor: Reynir

Hallo,
ich hätte eine Frage, wenn ich mir die Definiton der Varianz, also $Var[X]:= [mm] E[(X-E[X])^2]$ [/mm] ansehe und nehme für eine Stichprobe an, dass Messwerte die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und ich diskret unterwegs bin, dann komme ich doch zur empirischen Varianz, oder?
Hat man, dass man N Messwerte als gleich wahrscheinlich annimmt, dann wird aus dem Erwartungswert der Stichprobe ja gerade der Mittelwert M, also [mm] $E[X]:=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i [/mm] $. Damit hat man zusammen mit der Varianz für diskrete ZVe $Var[X]= [mm] \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-M)^2$. [/mm] Geht das so, darf ich annehmen, dass die Messwerte gleich wahrscheinlich sind? Ich bin etwas unischer, weil mir das unsauber vorkommt.
Viele Grüße
Reynir

        
Bezug
Empirische Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Di 01.08.2017
Autor: luis52


>  Hat man, dass man N Messwerte als gleich wahrscheinlich
> annimmt, dann wird aus dem Erwartungswert der Stichprobe ja
> gerade der Mittelwert M, also [mm]E[X]:=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i [/mm].
> Damit hat man zusammen mit der Varianz für diskrete ZVe
> [mm]Var[X]= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-M)^2[/mm]. Geht das so,
> darf ich annehmen, dass die Messwerte gleich wahrscheinlich
> sind? Ich bin etwas unischer, weil mir das unsauber
> vorkommt.

[ok] Moin. Ja, so kann man argumentieren.


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Empirische Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Fr 04.08.2017
Autor: Reynir

Hallo,
ich danke dir vielmals für deine Antwort, ich komme leider erst jetzt zum Antworten.
Ich hätte allerdings noch zwei Fragen in dem Zusammenhang:
1. Wenn man so argumentiert, dass man die Ausprägung einer ZVe als Messwerte fasst, ignoriert das die Messfehler? Oder kann man sagen, angenommen die Variable X spiegelt die wahren Werte wider, dann betrachte ich Z=X+Fehler und wende darauf mein Erwartungswertargument an?
2. Das Argument bzw. die Vorgehensweise so die Verbindung zur empirischen Varianz zu skizzieren, macht doch eigentlich nur Sinn, wenn noch keine Idee hat, welche Verteilung die Messwerte aufweisen, oder? Man würde praktisch in einem ersten Schritt versuchen anhand von bestimmten Kenngrößen, hier also bspw. der Varianz und dem Erwartungswert, die Stichprobe zu beschreiben.
Viele Grüße
Reynir

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Empirische Varianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Fr 04.08.2017
Autor: luis52

Ich habe deine Argumentation fuer das Modell $P(X=x)=1/N$, [mm] $x=x_1,\dots,x_N$, [/mm] (mit entsprechender Modifikation bei mehrfach auftretenden Werten) und $P(X=x)=$ sonst "abgesegnet".  Hier ist [mm] $\operatorname{E}[X]=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i=:M [/mm] $ und [mm] $\operatorname{Var}[X]= \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-M)^2 [/mm] $.

Ich kapiere jetzt nicht, inwieweit du das Modell abaendern willst ...

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Empirische Varianz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Di 08.08.2017
Autor: Reynir

Hi,
sorry, wenn ich für Verwirrung gesorgt habe, ich war mir aber selbst noch nicht ganz im Klaren.
zu 1. Ich formuliere es etwas um, ich wollte nichts am Modell ändern. Ich habe mich nur Folgendes gefragt: In der klassischen Testtheorie geht man meines Wissens davon aus, dass man einen wahren Wert hat, der aber immer nur mit einem Messfehler kombiniert erfasst werden kann. Daher war ich verwirrt, weil ich ja Varianz und Erwartungswert von Zufallsvariablen als den Ausgangspunkt meines Argumentes gewählt habe, fragte ich mich von welcher Form die ZVe ist, die ich bei der empirischen Varianz betrachte. Mit der Bemerkung zur klassischen Testtheorie hatte ich dann die Vermutung, dass es etwas von der Form Z = X + Messfehler sein muss.
zu 2. Ich hatte mich halt weiterführend gefragt, was passiert, wenn der Kontext meiner eingangs gestellten Frage wechselt und man im Rahmen einer Analyse der Daten auf eine Verteilungsfunktion stößt, die relativ gut zu den Daten passt. Sprich, ob dann die Varianz anders berechnet wird. Ich nehme aber an, dass ich zwei ziemlich verschiedene Themen durcheinander geworfen habe, oder?

Jetzt hätte ich allerdings noch eine Frage zu deiner Bemerkung mit der entsprechenden Modifikation und dem Zusatz $P(X=x)=$ sonst. Ich nahme an, du meintest etwas von der folgenden Form:
[mm] $P(X=x)=\begin{cases} \frac{1}{N}, & \mbox{?} \\ ?, & \mbox{ sonst} \end{cases}$ [/mm] oder wie meintest du das, ich werde aus dem Satz nicht ganz schlau, sorry.
Viele Grüße
Reynir


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Empirische Varianz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Di 08.08.2017
Autor: luis52


> Jetzt hätte ich allerdings noch eine Frage zu deiner
> Bemerkung mit der entsprechenden Modifikation und dem
> Zusatz [mm]P(X=x)=[/mm] sonst. Ich nahme an, du meintest etwas von
> der folgenden Form:
>  [mm]P(X=x)=\begin{cases} \frac{1}{N}, & \mbox{?} \\ ?, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
> oder wie meintest du das, ich werde aus dem Satz nicht ganz
> schlau, sorry.


Das glaube, ich naemlich auch nicht. ;-)

Zunaechst einmal sollte es heissen:

[mm]P(X=x)=\begin{cases} \dfrac{1}{N}, & x=x_1,\dots, x_N\\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]

Mit der Modifikation meinte ich Daten, wo Werte mehrfach auftreten. Z.B. ist das Modell fuer die Daten $1,2,1,0,3,0,5,1,2$:


[mm]P(X=x)=\begin{cases} \dfrac{2}{9}, & x=0 \text{ oder } 2\\[1ex] \dfrac{3}{9}, & x=1\\[1ex] \dfrac{1}{9}, & x=3 \text{ oder } 5\\[1ex] 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]





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Empirische Varianz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:57 So 13.08.2017
Autor: Reynir

Vielen Dank für deine Antwort.
Einen schönen Sonntag
Reynir

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