www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Endlich viele Unstetigkeiten 2
Endlich viele Unstetigkeiten 2 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Endlich viele Unstetigkeiten 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Sa 11.11.2017
Autor: Reynir

Hallo,
ich habe die Funktion:
[mm] f_n(x):= \begin{cases} 1, & \mbox{falls } x \in \{ r_1,...,r_n\} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}$. [/mm]
Es wird zudem gesetzt: [mm] $\mathbb{Q}\cap \left[0,1\right]=\{r_1,...,r_n,...\}$. [/mm] Dass die Funktion Riemann-integrierbar ist, ist mir klar. Könnte Folgendes gehen? Man sagt, die Unstetigkeitsstellen fallen weg bei der Bildung des Integrals und da die Funktion fast überall 0 ist, ist das Integral 0. Kann ich formal zeigen, dass die Unstetigkeitsstellen rausfallen?
Viele Grüße
Reynir


        
Bezug
Endlich viele Unstetigkeiten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Sa 11.11.2017
Autor: Stala

Hallo,

möchtest du nun Riemann oder Lebesgue integrieren?

Für jedes [mm] n [/mm] ist [mm] \( f_n \) [/mm] Riemann-integrierbar, da ja nur endlich viele Unstetigkeitsstellen. Die Grenzfunktion für n [mm] \to \infty [/mm] wäre es hingegen nicht mehr.

Ich würde so argumentieren: Sei [mm] \( R:=\{r_1, \ldots r_n\} \). [/mm]

[mm] \( \int_{[0,1]} f_n(d) \, d\lambda [/mm] x = 0 [mm] \cdot \lambda\{x \, | \, x \in [0,1] \backslash R \} [/mm] + 1 [mm] \cdot \lambda(R) [/mm] = 0 + [mm] 1\cdot [/mm] 0 = 0

und da auf kompakten Intervallen Riemann- und Lebesgueintegral übereinstimmen, sofern die Funktion Riemann-integrierbar ist, ist auch das Riemann-Integral Null.

VG
Stala


Bezug
                
Bezug
Endlich viele Unstetigkeiten 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Sa 18.11.2017
Autor: Reynir

Hallo und sorry für die späte Rückmeldung,
mein Internet hat wieder mal gestreikt. Ich will es eiegtnlich Riemann integrieren, aber das Lebesgueargument leuchtet mir schon mal ein. Fällt dir auch ein Argument für Riemann ein, ohne den Umweg über Lebesgue? Ich frage nur, weil ich mich breit aufstellen will, bei meiner Abschlussprüfung, für die ich lerne.
Danke für deine Hilfe
Reynir

Bezug
                        
Bezug
Endlich viele Unstetigkeiten 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:22 Sa 18.11.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du schriebst:

> Dass die Funktion Riemann-integrierbar ist, ist mir klar.

Dann ist dir hoffentlich auch klar, dass du jede Riemann-Integrierbare Funktion an endlich vielen Funktionswerten ändern kannst, ohne den Wert es Integrals zu ändern.

D.h. wir setzen:

$ [mm] \overline{f}_n(x):= \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \in \{ r_1,...,r_n\} \\ f(x), & \mbox{sonst } \end{cases}$ [/mm]

Dann unterscheiden sich [mm] \overline{f}_n [/mm] und [mm] f_n [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] nur an endlich vielen Stellen und daraus folgt:

[mm] $\int_0^1 f_n(x) \; [/mm] dx = [mm] \int_0^1 \overline{f}_n(x) \; [/mm] dx = [mm] \int_0^1 [/mm] 0 [mm] \; [/mm] dx = 0$

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Endlich viele Unstetigkeiten 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 Mi 22.11.2017
Autor: Reynir

Hallo Gono,
vielen Dank für deine Antwort!
Viele Grüße
Reynir

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 46m 10. leo_213
UAnaR1FolgReih/Grenzwert nte Wurzel
Status vor 13h 17m 1. VosMo
Sonstiges/Bitmustererkenung
Status vor 18h 03m 6. leduart
SChem/DGL: Mischung im Behälter
Status vor 20h 13m 2. matux MR Agent
UAlgGeo/Clustering in Social Networks
Status vor 1d 5h 59m 11. fred97
ULinAMat/Gruppe der inv. Matrizen
^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de