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Forum "Folgen und Reihen" - Epsilon Kriterium Konvergenz
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Epsilon Kriterium Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Do 09.11.2017
Autor: Tesca

Aufgabe
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/n
Beweise mit dem Epsilonkriterium


Mein Ansatz:
[mm] |a_{n} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon [/mm]
|1/n - 0| < [mm] \varepsilon [/mm]
|1/n| = 1/n < [mm] \varepsilon [/mm]
n > [mm] 1/\varepsilon [/mm]

Soweit so klar.
Allerdings koennte man bei
|1/n| = 1/n noch weiter abschaetzen
Also:
1/n < n (fuer alle n >=2)
n < [mm] \varepsilon [/mm]

Jetzt stelle ich fest das ich nicht fuer jedes Epsilon ein n finde welches kleiner ist (z.b. [mm] \varepsilon [/mm] = 0.1).

Wo liegt mein Fehler?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Epsilon Kriterium Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 Do 09.11.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1/n
>  Beweise mit dem Epsilonkriterium


Was  soll bewiesen werden ?
  

> Mein Ansatz:
>  [mm]|a_{n}[/mm] - a | < [mm]\varepsilon[/mm]
>  |1/n - 0| < [mm]\varepsilon[/mm]
>  |1/n| = 1/n < [mm]\varepsilon[/mm]
>  n > [mm]1/\varepsilon[/mm]

>  
> Soweit so klar.

Solange du nicht wirklich hinschreibst, was dir selber nun
anscheinend klar erscheint, ist für den, der deinen "Beweis"
liest, noch kaum irgendwas klar.


>  Allerdings koennte man bei
>  |1/n| = 1/n noch weiter abschaetzen
>  Also:
>  1/n < n (fuer alle n >=2)

Hier ist nun für mich überhaupt nichts mehr klar. Was hast du vor ?
Was soll es mit der Aufgabe noch zu tun haben ?

>  n < [mm]\varepsilon[/mm]

Und da komme ich definitiv nicht mehr mit.
  

> Jetzt stelle ich fest das ich nicht fuer jedes Epsilon ein
> n finde welches kleiner ist (z.b. [mm]\varepsilon[/mm] = 0.1).
>  
> Wo liegt mein Fehler?


Ich denke, dass der Hauptfehler darin liegt, dass es dir nicht
gelingt, zu sehen, dass eine mathematische Berechnung oder
ein Beweis, den man hinschreibt, an Leser gerichtet ist, die
die darin vorgenommenen Überlegungen verstehen und
nachvollziehen können sollen.
In dem obigen sehe ich gewisse Notizen zu Überlegungen,
die du dir wohl selber zur gestellten Aufgabe gemacht hast.
Aber so, wie sie da stehen, sind diese Notizen überhaupt
nicht geeignet, eine Beweisidee oder einen fertigen Beweis
an irgendeinen Empfänger verständlich rüberzubringen.

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Epsilon Kriterium Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:02 Do 09.11.2017
Autor: Tesca

Zu beweisen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/n = 0

Mein Problem liegt darin das ich nicht verstehe warum aus einer (meiner Meinung nach Korrekten Abschaetzung) ein Widerspruch folgt.

Ich versuche das ganze mal mit etwas mehr Text auszuschmuecken, evlt wird es dadurch klarer.

Ich beginne mit der Definition des Grenzwertes:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] fuer das gilt:
[mm] |a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm]
wobei [mm] a_n [/mm] die Folge und a der Grenzwert ist.

Ausgehend davon:

|1/n - 0| < [mm] \varepsilon [/mm]
|1/n - 0| = |1/n| = 1/n < n < [mm] \varepsilon [/mm]
(Die Gleichungen sollten klar sein)
Die Ungleichung [mm] 1\n [/mm] < n stimmt fuer alle n >= 2
Das diese Art des Abschaetzens erlaubt ist entnehme ich so ziemlich allen Beweisen zum Epsilonkriterium welche ich gesehen habe. (Evtl liegt hier ja schon der Fehler).

Aus n < [mm] \varepsilon [/mm] folgere ich den Widerspruch, da ich nicht fuer jedes Epsilon ein n finde welches kleiner ist.

Haette ich die Abschaetzung nicht gemacht und bei 1/n < [mm] \varepsilon [/mm] aufgehoert, haette ich fuer jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein n gefunden.

Sprich meine Frage ist nicht direkt, wie loese ich die Aufgabe, sondern, wo liegt der Fehler in der Abschaetzung.
















Bezug
                        
Bezug
Epsilon Kriterium Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Do 09.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> Ausgehend davon:

>

> |1/n - 0| < [mm]\varepsilon[/mm]
> |1/n - 0| = |1/n| = 1/n < n < [mm]\varepsilon[/mm]
> (Die Gleichungen sollten klar sein)
> Die Ungleichung [mm]1\n[/mm] < n stimmt fuer alle n >= 2
> Das diese Art des Abschaetzens erlaubt ist entnehme ich so
> ziemlich allen Beweisen zum Epsilonkriterium welche ich
> gesehen habe. (Evtl liegt hier ja schon der Fehler).

>

> Aus n < [mm]\varepsilon[/mm] folgere ich den Widerspruch, da ich
> nicht fuer jedes Epsilon ein n finde welches kleiner ist.

>

> Haette ich die Abschaetzung nicht gemacht und bei 1/n <
> [mm]\varepsilon[/mm] aufgehoert, haette ich fuer jedes [mm]\varepsilon[/mm]
> ein n gefunden.

>

> Sprich meine Frage ist nicht direkt, wie loese ich die
> Aufgabe, sondern, wo liegt der Fehler in der Abschaetzung.

Du schätzt ganz einfach in die falsche Richtung ab. Für [mm]n<\varepsilon[/mm] gibt es doch überhaupt keine Begründung (es ist insbesondere falsch).


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Epsilon Kriterium Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Do 09.11.2017
Autor: Diophant

Hallo Tesca,

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1/n
> Beweise mit dem Epsilonkriterium

>

Offensichtlich möchtest du

[mm] \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}=0 [/mm]

zeigen.

> Mein Ansatz:
> [mm]|a_{n}[/mm] - a | < [mm]\varepsilon[/mm]
> |1/n - 0| < [mm]\varepsilon[/mm]
> |1/n| = 1/n < [mm]\varepsilon[/mm]
> n > [mm]1/\varepsilon[/mm]

Bis hierher ist alles gut.

> Soweit so klar.
> Allerdings koennte man bei
> |1/n| = 1/n noch weiter abschaetzen

Wozu, bzw. was meinst du hier?

> Also:
> 1/n < n (fuer alle n >=2)
> n < [mm]\varepsilon[/mm]

>

> Jetzt stelle ich fest das ich nicht fuer jedes Epsilon ein
> n finde welches kleiner ist (z.b. [mm]\varepsilon[/mm] = 0.1).

>

> Wo liegt mein Fehler?

Mit [mm]n> \frac{1}{\varepsilon}[/mm]

bist du fertig. Denn aus dieser Ungleichung folgt, dass es für jedes Epsilon ein kleinstes N aus [mm] \IN [/mm] gibt, so dass die Ungleichung für alle [mm] n\ge{N} [/mm] gültig ist. Und das bedeutet ja, das ab 1/N alle weiteren Folgenglieder in der vorgegebenen Epsilon-Umgebung liegen.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Epsilon Kriterium Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:06 Do 09.11.2017
Autor: Tesca

Hallo Diophant,
vielen dank fuer deine Antwort.

Richtig mit n > [mm] 1/\varepsilon [/mm] waere ich bereits fertig.
Allerdings gerate ich bei komplizierteren Grenzwerten in einen Aehnlichen Fehler wie hier, daher dachte ich nehme lieber den einfachen klaren Fall.

An sich sollte die Abschaetzung ja nichts am Ergebnis aendern, solange sie gueltig ist. Da sie aber etwas am ergebnis aendert scheint sie nicht gueltig zu sein, allerdings verstehe ich nicht was falsch an ihr ist.

gruss
Michael

Bezug
                        
Bezug
Epsilon Kriterium Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Do 09.11.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,
> vielen dank fuer deine Antwort.

>

> Richtig mit n > [mm]1/\varepsilon[/mm] waere ich bereits fertig.
> Allerdings gerate ich bei komplizierteren Grenzwerten in
> einen Aehnlichen Fehler wie hier, daher dachte ich nehme
> lieber den einfachen klaren Fall.

>

> An sich sollte die Abschaetzung ja nichts am Ergebnis
> aendern, solange sie gueltig ist. Da sie aber etwas am
> ergebnis aendert scheint sie nicht gueltig zu sein,
> allerdings verstehe ich nicht was falsch an ihr ist.

Das habe ich dir in der Antwort auf die andere Rückfrage geschrieben.


Gruß, Diophant

Bezug
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