Ersetzungsund Einsetzungsregel < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr,
ich bin kein richtiger Mathematiker, noch ein Logiker, sondern nur ein Interessierter und kann aus den Ausführungen zu den beiden Regeln: Einsetzungs und Ersetzungsregel überhaupt nichts entnehmen. Bei dieser "Anmerkung" auf Wikipedia habe ich das Gefühl, dass ich keinen Unterschied finde. https://de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungsregel_%28Logik%29
Meine, sich nicht erhärten lassende Ahnung ist inzwischen, dass die Ersetzungsregel eine Variable durch einen konkreten Ausdruck ersetzbar oder umbenennbar macht.
Die Einsetzungsregel hingegen ist allgemeiner und bedeutet, dass wenn zweimal irgendwo der gleiche Ausdruck steht (etwa in einer Tautologie), man ihn dann so ersetzen kann, sodass man mehrere Vorkommnisse durch egal welchen anderen Ausdruck, hauptsache durch jedesmal denselben ersetzen können muss.
Verhält es sich überhaupt so? Fall denn ja, kann man des eventuell noch griffiger sagen?
Vielen Dank für die Beschäftigung mit meinem Laien-Problem,
Deti
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Do 10.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo detlef_schoenbaum!
Ich habe zwar einen gewissen logischen Background in Sachen Prädikatenlogik der ersten Stufe, aber kannte die Begriffe Einsetzungs- und Ersetzungsregel bis eben selbst nicht. Ich beziehe mich daher komplett auf die beiden Wikipedia-Artikel zu diesen Themen.
> Meine, sich nicht erhärten lassende Ahnung ist inzwischen,
> dass die Ersetzungsregel eine Variable
Was meinst du hier mit Variable? Meinst du eine für eine Aussage stehende Variable p im Rahmen der Aussagenlogik oder eine für ein Objekt stehende Variable x im Sinne der Prädikatenlogik?
> durch einen
> konkreten Ausdruck ersetzbar oder umbenennbar macht.
Mit dieser Beschreibung von dir kann ich leider nicht viel anfangen.
Ich versuche mal, die Idee der Ersetzungsregel an einem hoffentlich anschaulichen Beispiel zu erläutern:
Sei etwa $n$ eine natürliche Zahl.
Dann kann man folgende Sätze beweisen:
Satz 1: Wenn n das vierfache einer anderen natürlichen Zahl ist, dann ist n auch das Doppelte einer natürlichen Zahl.
Satz 2: n ist genau dann das Doppelte einer natürlichen Zahl, wenn n/2 eine natürliche Zahl ist.
Angenommen, wir haben diese beiden Sätze bewiesen.
Dann können wir mit der Ersetzungsregel auf
Korollar: Wenn n das vierfache einer natürlichen Zahl ist, dann ist n/2 eine natürliche Zahl.
schließen.
Um die Struktur dieses Schlusses zu verdeutlichen, führe ich folgende Abkürzungen ein:
p:="n ist das vierfache einer anderen natürlichen Zahl"
q:="n ist das Doppelte einer natürlichen Zahl"
q':="n/2 ist eine natürliche Zahl".
Satz 1 lautet also: Wenn p, dann q.
Satz 2 lautet: q und q' sind äquivalent.
Das Korollar besagt: Wenn p, dann q'.
Die Ersetzungsregel erlaubt uns in Satz 1, q durch die zu q äquivalente Aussage q' zu ersetzen.
Wenn Satz 1 und Satz 2 bewiesen sind, können wir mit der Ersetzungsregel das Korollar beweisen.
> Die Einsetzungsregel hingegen ist allgemeiner und bedeutet,
> dass wenn zweimal irgendwo der gleiche Ausdruck steht (etwa
> in einer Tautologie), man ihn dann so ersetzen kann, sodass
> man mehrere Vorkommnisse durch egal welchen anderen
> Ausdruck, hauptsache durch jedesmal denselben ersetzen
> können muss.
>
> Verhält es sich überhaupt so?
Deine Skepsis ist berechtigt. Ich halte den Wikipedia-Artikel zur Einsetzungsregel für mangelhaft. Dort heißt es unter Aussagenlogik:
"Sei a eine allgemeingültige Aussage, die den Teilausdruck t beinhaltet. Wenn jedes Auftreten von t in a gleichermaßen durch einen anderen Ausdruck s ersetzt wird, ergibt sich wieder eine allgemeingültige Aussage."
Gegenbeispiel von mir: Wir betrachten die allgemeingültige (!) Formel [mm] $(p\vee\neg [/mm] p)$. Nun ersetzen wir den Teilausdruck [mm] $t:=(p\vee\neg [/mm] p)$ durch den Ausdruck $s:=q$. Wir erhalten die Formel q, die gemäß Wikipedia-Artikel auch allgemeingültig sein müsste, was sie aber nicht ist.
Auch die unter Prädikatenlogik im Einsetzungsregel-Artikel genannte Regel ist in der beschriebenen Allgemeinheit falsch:
Gegenbeispiel: [mm] $\forall x\exists y\; y\not=x$ [/mm] ist in Modellen mit mindestens zwei Elementen wahr. Setzen wir nun für x den Term y ein, so erhalten wir die Formel [mm] $\forall x\exists y\; y\not=y$, [/mm] was in Modellen mit mindestens zwei Elementen falsch ist.
> ich bin kein richtiger Mathematiker, noch ein Logiker,
> sondern nur ein Interessierter und kann aus den
> Ausführungen zu den beiden Regeln: Einsetzungs und
> Ersetzungsregel überhaupt nichts entnehmen.
Vergiss am besten den Artikel über die Einsetzungsregel.
Ist dir die Ersetzungsregel durch mein Beispiel etwas klarer geworden?
> Bei dieser
> "Anmerkung" auf Wikipedia habe ich das Gefühl, dass ich
> keinen Unterschied finde.
> https://de.wikipedia.org/wiki/Einsetzungsregel_%28Logik%29
In diesem Abschnitt des Wikipedia-Artikels wird neben einer im Allgemeinen falschen Schlussregel eine korrekte Anwendung der Ersetzungsregel genannt:
Angenommen wir wissen, dass a[t], t und s wahr sind.
Dann sind t und s äquivalent. Wir können also mithilfe der Ersetzungsregel von a[t] auf a[s] schließen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
Hey Tobias,
danke schön! :)
Ersetzungsregel läuft also in dieser Weise transitiv, wie du es mir erklärt hast, das verstehe ich jetzt auch und auch, dass dabei das Resultat noch den gleichen Wahrheitswert hat, wie der Ausgangssatz. Durch das Ersetzen von Ausdrücken durch tautologische Umformungen ändert sich eigentlich an dem Ergebnis des Ausdrucks nichts.
Mit dem Hinweis auf das Lambda-Kalkül hab ichs jetzt wohl gerafft, was die Einsetzungsregel ist: man ersetzt alle Vorkommnisse einer Variable, so wie in einer Funktion mit einer gebundenen Variable, in die etwas eingesetzt wird. Da musst du mal mit Strg+F forsten.
https://www.suchanek.name/texts/summaries/clog.txt
Das ist die Betaconversion, wo man genau auf solche Fälle wie die von dir erwähnte Version mit zwei quantisierten Individuenvariablen aufpassen muss, dass sich der Sinn des Ausdrucks nicht ändert.
Ich hatte vorhin gesehen, dass dieser Unterschied zwischen Einsetzung und Ersetzung auch von Hilbert und Bernay gemacht werden, wie man hier in diesem Inhaltsverzeichnis finden kann:
![[]](/images/popup.gif) hier
Aber ja offenbar auch von Alonzo, okay.
Detleffetz
PS: Wie ist es möglich aus dieser Frage eine Mitteilung zu machen? Es ist ja keine Frage…
|
|
|
|
