www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Erweiterungskörper
Erweiterungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Erweiterungskörper: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Mo 13.03.2006
Autor: cycilia

Aufgabe
Warum liegt  [mm] \wurzel[4]{5} [/mm] nicht in   [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15} [/mm] ) ?

Schon klar, dass das der Fall ist.... aber wie beweist man sowas?

        
Bezug
Erweiterungskörper: z. B. deswegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Mo 13.03.2006
Autor: statler


> Warum liegt  [mm]\wurzel[4]{5}[/mm] nicht in   [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}[/mm]
> ) ?
>  Schon klar, dass das der Fall ist.... aber wie beweist man
> sowas?

Wegen des Gradmultiplikationssatzes zum Beispiel. Ein Körper vom Grad 4 kann nicht Zwischenkörper eines Körpers vom Grad 6 sein. Allerdings müßte man vorher noch zeigen, daß die erzeugten Körper diese Grade haben, oder ist das klar? Sonst Minimalpolynome untersuchen, man kommt da vom Stöckchen aufs Hölzchen...

LG
Dieter



Bezug
                
Bezug
Erweiterungskörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Mo 13.03.2006
Autor: cycilia

Ja, aber müsste die Frage dann nicht lauten, warum ist  [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}) [/mm] nicht in  [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}) [/mm] enthalten? Warum kann ich das über den Gradsatz zeigen? Das war auch mein erster Ansatz, aber da ich es ja anscheinend nicht verstehe....

Bezug
                        
Bezug
Erweiterungskörper: Aber Anja,...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Mo 13.03.2006
Autor: statler


> Ja, aber müsste die Frage dann nicht lauten, warum ist  [mm]\IQ[/mm]
> ( [mm]\wurzel[4]{5})[/mm] nicht in  [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15})[/mm] enthalten?

...so lautet die Frage doch.
Denn wenn ( [mm]\wurzel[4]{5})[/mm] in [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15})[/mm] enthalten wäre, dann doch auch der davon erzeugte Körper.

> Warum kann ich das über den Gradsatz zeigen? Das war auch
> mein erster Ansatz, aber da ich es ja anscheinend nicht
> verstehe....

Die Körpergrade sind immer ganze Zahlen, und es müßte 4 * [mm] g_{2} [/mm] = 6 sein.

Jetzt besser?
Dieter



Bezug
                                
Bezug
Erweiterungskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Mo 13.03.2006
Autor: cycilia

Okay, also wenn ein Element in einem Körper enthalten ist, dann auch der Körper über dieses Element.... eigentlich logisch...

ich habe in Algebra leider nur eine sehr schlechte Vorlesung - wo sehr viel ausgefallen ist - mit einer nur teilweise hilfreichen Übungsgruppe besucht und habe massive Probleme mir alles mit Büchern anzueignen. Daher auch sehr viele Fragen, die eigentlich nicht sein dürften. Sorry!

Bezug
                                        
Bezug
Erweiterungskörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:44 Mo 13.03.2006
Autor: cycilia

Zu obiger Frage habe ich dann also:

Angenommen:
   [mm] \IQ \subset \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}) \subset \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}) [/mm]

Dann würde mit dem Gradsatz gelten:

[ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}): \IQ] [/mm] = [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}): \IQ] [/mm] *
[ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}): \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5})] [/mm]

dh.: 6 = 4* [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[6]{15}): \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5})] [/mm]

Widerspruch, da Zwischenkörper als Grad nur Teiler von 6 sein können, bzw. weil der Grad so nicht ganzzahlig wäre.



Warum liegt  [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}) [/mm] nicht in  [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[25]{1}) [/mm] ?

Das geht jetzt genauso so leicht? Ich gehe doch richitg in der Annahme, dass hier die 25-ten Einheitswurzeln zu  [mm] \IQ [/mm] hinzuadjungiert werden. Also wäre der Grad [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[25]{1}): \IQ] [/mm] = 25
Es gilt wie gehabt: [ [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel[4]{5}): \IQ [/mm] ] = 4

4 ist kein Teiler von 25, also passt es nicht, richig?

Bezug
                                                
Bezug
Erweiterungskörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Mo 13.03.2006
Autor: mathmetzsch


> Zu obiger Frage habe ich dann also:
>  
> Angenommen:
>     [mm]\IQ \subset \IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5}) \subset \IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel[6]{15})[/mm]
>  
> Dann würde mit dem Gradsatz gelten:
>  
> [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}): \IQ][/mm] = [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5}): \IQ][/mm]
> *
> [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}): \IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5})][/mm]
>  
> dh.: 6 = 4* [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[6]{15}): \IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5})][/mm]
>  
> Widerspruch, da Zwischenkörper als Grad nur Teiler von 6
> sein können, bzw. weil der Grad so nicht ganzzahlig wäre.

Ja, das ist richtig [daumenhoch]

>  
>
>
> Warum liegt  [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5})[/mm] nicht in  [mm]\IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel[25]{1})[/mm] ?
>  
> Das geht jetzt genauso so leicht? Ich gehe doch richitg in
> der Annahme, dass hier die 25-ten Einheitswurzeln zu  [mm]\IQ[/mm]
> hinzuadjungiert werden. Also wäre der Grad [ [mm]\IQ[/mm] (
> [mm]\wurzel[25]{1}): \IQ][/mm] = 25

Wie sieht man das denn? Minimalpolynom könnte sein [mm] x^{25}-1, [/mm] aber ist das irreduzibel? Mit Eisenstein sieht man das nicht sofort. Man könnte substituieren [mm] (x+1)^{25}+1 [/mm] und das untersuchen!

>  Es gilt wie gehabt: [ [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel[4]{5}): \IQ[/mm] ] = 4
>  
> 4 ist kein Teiler von 25, also passt es nicht, richig?

Ja, wenn der Grad der Körpererweiterung oben stimmt!

Viele Grüße
Daniel

Bezug
                                                        
Bezug
Erweiterungskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 Mo 13.03.2006
Autor: felixf


> > Das geht jetzt genauso so leicht? Ich gehe doch richitg in
> > der Annahme, dass hier die 25-ten Einheitswurzeln zu  [mm]\IQ[/mm]
> > hinzuadjungiert werden. Also wäre der Grad [ [mm]\IQ[/mm] (
> > [mm]\wurzel[25]{1}): \IQ][/mm] = 25
>  
> Wie sieht man das denn? Minimalpolynom könnte sein
> [mm]x^{25}-1,[/mm] aber ist das irreduzibel?

Nein, es hat die Nullstelle $1$.

Schaut mal []hier, da steht was zum Minimalpolynom. Uebrigens: [mm] $\phi(25) [/mm] = [mm] \phi(5^2) [/mm] = 5 [mm] \cdot [/mm] 4 = 20$, womit [mm] $[\Q(\sqrt[25]{1}) [/mm] : [mm] \Q] [/mm] = 20$ ist. Das Gradsatzargument geht hier also nicht!

Wie man das Problen nu angehen kann faellt mir grad nicht ein, wenn mir was einfaellt melde ich mich...

LG Felix



Bezug
                                                                
Bezug
Erweiterungskörper: @felixf
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Mo 13.03.2006
Autor: statler

Hallo,

ich vermute inzwischen fast, daß der eine Körper im andern enthalten ist. Kann man das evtl mit Gaußschen Summen zeigen? Also ganz explizit?

Ich überlege mir das heute abend etwas genauer.

Gruß
Dieter


Bezug
                                                                        
Bezug
Erweiterungskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Mo 13.03.2006
Autor: felixf

Hallo Dieter,

> ich vermute inzwischen fast, daß der eine Körper im andern
> enthalten ist.

das ist er nicht: Laut folgendem MAGMA-Programm zerfaellt [mm] $x^4 [/mm] - 5$ ueber [mm] $\Q(\sqrt[25]{1})$ [/mm] in zwei quadratische Faktoren, womit [mm] $\sqrt[4]{5}$ [/mm] nicht in [mm] $\Q(\sqrt[25]{1})$ [/mm] enthalten ist:

1: R := PolynomialRing(Rationals());
2: f := R ! CyclotomicPolynomial(25);
3: I := ideal<R | f>;
4: S<x> := PolynomialRing(R/I);
5: g := x^4 - 5;
6: Factorization(g);


Ausgabe:

1: [
2:     <x^2 - 2*$.1^15 - 2*$.1^10 - 1, 1>,
3:     <x^2 + 2*$.1^15 + 2*$.1^10 + 1, 1>
4: ]


(Dabei ist $.1 eine Nullstelle von $f$, also gleich [mm] $\sqrt[25]{1}$. [/mm] Das Polynom $f$ ist uebrigens [mm] $t^{20} [/mm] + [mm] t^{15} [/mm] + [mm] t^{10} [/mm] + [mm] t^5 [/mm] + 1$.)

> Kann man das evtl mit Gaußschen Summen zeigen? Also ganz explizit?

Damit kenn ich mich leider nicht aus...

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
Erweiterungskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:01 Mo 13.03.2006
Autor: statler

Hallo,

hier ist Vorsicht geboten. Die p-ten Einheitswurzeln (p prim) haben Grad p-1, also die 5ten Grad 4, und die sind Zwischenkörper.

Mehr Zeit habe ich jetzt nicht, vllt später

Dieter

Bezug
                                                        
Bezug
Erweiterungskörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 Mo 13.03.2006
Autor: cycilia

Hmm,... eigentlich kann man ja per Polynomdivision x-1 herausdividieren aus x^25-1. Die Nullstellen des resultierenden Polynomes müssten ja immer nch die 25-ten Einheitswurzeln sein.... Also wäre der Grad schonmal
[mm] \le [/mm] 24.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de