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Forum "Differentialgleichungen" - Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord. < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Do 22.01.2015
Autor: felix.einszwei

Aufgabe
y''+ 16y' +100y = 0
y(0) = 2, y'(0)=8

Hallo,

mit geht es um die Lösung von DGLs n-ter Ordnung und deren Lösung mit dem Euler-Verfahren.

Als Beispiel habe ich eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung gewählt. Ich weiß, dass ich die DGL in ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung umwandeln muss.

Mein Ansatz ist:

[mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{2} [/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] -16y_{2} [/mm] -100y

Ich weiß nicht, ob mein Ansatz richtig ist und wie ich nun z.B. die ersten beiden Euler-Schritte mit h= 0.5 durchführe.

Vielen Dank für eure Hilfe!
Felix

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:29 Fr 23.01.2015
Autor: hippias

Nein, in Deinem Ansatz ist einiges durcheinander geraten. Versuche es besser. Dann koennen wir uns an die Berechnung der Euler-Schritte machen.

Bezug
                
Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Sa 24.01.2015
Autor: felix.einszwei

Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe meinen Ansatz nochmal überdacht und komme auf folgendes Ergebnis:

1. Nach [mm] y''[/mm] auflösen
[mm]y'' = -16y'-100y[/mm]

2. System überführen:
[mm] \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{0} \\ y_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_{1} \\ -16y_{1}-100y_{0} \end{pmatrix} [/mm]

Ist das so i.O.? Kannst Du mir zeigen, wie ich jetzt den Euler-Schritt mache?

Bezug
                        
Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:29 Sa 24.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo!


> Vielen Dank für deine Hilfe. Ich habe meinen Ansatz
> nochmal überdacht und komme auf folgendes Ergebnis:
>  
> 1. Nach [mm]y''[/mm] auflösen
>  [mm]y'' = -16y'-100y[/mm]
>  
> 2. System überführen:
>  [mm] \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{0} \\ y_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_{1} \\ -16y_{1}-100y_{0} \end{pmatrix} [/mm]
>  
> Ist das so i.O.?

Ja.

> Kannst Du mir zeigen, wie ich jetzt den Euler-Schritt mache?

Explizit oder implizit? Im Grunde ist es nur einsetzen.
Schreibe das Verfahren auf und setze $h=0.5>0$ ein.


Gruß
DieAcht

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Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 Sa 24.01.2015
Autor: felix.einszwei

Sehr gut, ich habe jetzt verstanden wie ich die DGL in das System überführe.

Es geht primär um das explizite Euler-Verfahren. Sekundär will ich verstehen wie ich eine DGL höheren Grades mit anderen numerischen Verfahren auf diese Weise lösen kann.

Das explizites Euler-Verfahren ist wie folgt definiert:
[mm] y_{n+1}=y_{n}+h*f(y,x) [/mm]

Die Randbedingungen sind:
[mm] y_{0}(0) = 2, y_{1}(0)=8 [/mm]

Das System ist:
[mm] \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_{0} \\ y_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_{1} \\ -16y_{1}-100y_{0} \end{pmatrix} [/mm]

Der erste Euler-Schritt lautet:
[mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 2+0,5*(-16*8-100*2) \end{pmatrix} [/mm]

Ist das korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Sa 24.01.2015
Autor: MathePower

Hallo felix.einszwei,

> Sehr gut, ich habe jetzt verstanden wie ich die DGL in das
> System überführe.
>  
> Es geht primär um das explizite Euler-Verfahren. Sekundär
> will ich verstehen wie ich eine DGL höheren Grades mit
> anderen numerischen Verfahren auf diese Weise lösen kann.
>  
> Das explizites Euler-Verfahren ist wie folgt definiert:
>  [mm] y_{n+1}=y_{n}+h*f(y,x) [/mm]
>  
> Die Randbedingungen sind:
>  [mm] y_{0}(0) = 2, y_{1}(0)=8 [/mm]
>  
> Das System ist:
>  [mm] \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_{0} \\ y_{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} y_{1} \\ -16y_{1}-100y_{0} \end{pmatrix} [/mm]
>  
> Der erste Euler-Schritt lautet:
>  [mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 2+0,5*(-16*8-100*2) \end{pmatrix} [/mm]
>  
> Ist das korrekt?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:06 So 25.01.2015
Autor: felix.einszwei

Auch wenn der erste Schritt korrekt war, habe ich es noch nicht vollständig verstanden.

Für den ersten Schritt hatten wir:
[mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 2+0,5*(-16*8-100*2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -162 \end{pmatrix} [/mm]

Lautet der zweite Iterationsschritt nun:

[mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -162+0,5*(-16*8+162*100) \end{pmatrix} [/mm] ?

Bezug
                                                        
Bezug
Euler-Verfahren DGL n-ter Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 So 25.01.2015
Autor: MathePower

Hallo felix.einszwei,

> Auch wenn der erste Schritt korrekt war, habe ich es noch
> nicht vollständig verstanden.
>  
> Für den ersten Schritt hatten wir:
>  [mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 2+0,5*(-16*8-100*2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -162 \end{pmatrix} [/mm]
>


Hier steht doch:

[mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ 2+0,5*(-16*8-100*2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -162 \end{pmatrix}=\pmat{y_{1} \\ y_{2}} [/mm]


> Lautet der zweite Iterationsschritt nun:
>  
> [mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 8 \\ -162+0,5*(-16*8+162*100) \end{pmatrix} [/mm]
> ?


Demnach muss hier stehen:

[mm] \begin{pmatrix} y_{0}' \\ y_{1}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \blue{-162} \\ -162+0,5*(-16*8-162*100) \end{pmatrix}=\pmat{y_{2} \\ y_{3}} [/mm]


Gruss
MathePower

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