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Extrema bestimmen: Tipp,Rückfrage, Idee, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Mo 08.01.2018
Autor: Dom_89

Aufgabe
Bestimme die Extreme von

f(x,y) = [mm] x^3+y^3-3xy [/mm]

Hallo,

hier einmal mein bisheriges Vorgehen:

[mm] \nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \pmat{ 3x^2-3y \\ 3y^2-3x} [/mm]

Hf(x,y) = [mm] \pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y } [/mm]

Nun lautet die notwendige Bedingung fx(x,y) = 0 und fy(x,y)

I [mm] 3x^2-3y [/mm] = 0
II [mm] 3y^2-3x [/mm] = 0

An dieser Stelle verstehe ich nun nicht, wie ich die beiden Gleichungssysteme lösen kann - ist meine Lösung bis hier überhaupt richtig ?

Vielen Dank!

        
Bezug
Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:27 Mo 08.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Bestimme die Extreme von

>

> f(x,y) = [mm]x^3+y^3-3xy[/mm]
> Hallo,

>

> hier einmal mein bisheriges Vorgehen:

>

> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\pmat{ 3x^2-3y \\ 3y^2-3x}[/mm]

>

> Hf(x,y) = [mm]\pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y }[/mm]

>

> Nun lautet die notwendige Bedingung fx(x,y) = 0 und
> fy(x,y)=0

>

> I [mm]3x^2-3y[/mm] = 0
> II [mm]3y^2-3x[/mm] = 0

>

> An dieser Stelle verstehe ich nun nicht, wie ich die beiden
> Gleichungssysteme lösen kann - ist meine Lösung bis hier
> überhaupt richtig ?

Der Ansatz ist richtig, es handelt sich um ein Gleichungssystem, eben um ein nichtlineares.

Am besten dividierst du beide Gleichungen zunächst durch 3 und verwendest das Einsetzungsverfahren. Es ergeben sich zwei Lösungen (man kann sie auch durch scharfes Hinsehen gewinnen).

Auch deine Hesse-Matrix stimmt. allerdings scheint sie hier für eine der beiden Lösungen des obigen GS ungeeignet zu sein...


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:58 Di 09.01.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Bestimme die Extreme von
>  >
>  > f(x,y) = [mm]x^3+y^3-3xy[/mm]

>  > Hallo,

>  >
>  > hier einmal mein bisheriges Vorgehen:

>  >
>  > [mm]\nabla[/mm] f(x,y) = [mm]\pmat{ 3x^2-3y \\ 3y^2-3x}[/mm]

>  >
>  > Hf(x,y) = [mm]\pmat{ 6x & -3 \\ -3 & 6y }[/mm]

>  >
>  > Nun lautet die notwendige Bedingung fx(x,y) = 0 und

>  > fy(x,y)=0

>  >
>  > I [mm]3x^2-3y[/mm] = 0

>  > II [mm]3y^2-3x[/mm] = 0

>  >
>  > An dieser Stelle verstehe ich nun nicht, wie ich die

> beiden
>  > Gleichungssysteme lösen kann - ist meine Lösung bis

> hier
>  > überhaupt richtig ?

>  
> Der Ansatz ist richtig, es handelt sich um ein
> Gleichungssystem, eben um ein nichtlineares.
>  
> Am besten dividierst du beide Gleichungen zunächst durch 3
> und verwendest das Einsetzungsverfahren. Es ergeben sich
> zwei Lösungen (man kann sie auch durch scharfes Hinsehen
> gewinnen).
>  
> Auch deine Hesse-Matrix stimmt, allerdings scheint sie hier
> für eine der beiden Lösungen des obigen GS ungeeignet zu
> sein...

Hallo Diophant,

diese Bemerkung verstehe ich nicht. Die Hessematrix ist in einer der beiden Lösungen indefinit und in der anderen positiv definit....


>  
>
> Gruß, Diophant


Bezug
                        
Bezug
Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 Di 09.01.2018
Autor: Diophant

Hallo FRED,

> > Auch deine Hesse-Matrix stimmt, allerdings scheint sie hier
> > für eine der beiden Lösungen des obigen GS ungeeignet zu
> > sein...

>

> Hallo Diophant,

>

> diese Bemerkung verstehe ich nicht. Die Hessematrix ist in
> einer der beiden Lösungen indefinit und in der anderen
> positiv definit....

ich hatte mich vertan und an eben dieser besagten Stelle die Matrix als positiv semidefinit gesehen. Werds oben nachbessern.

Danke für den Hinweis!

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Di 09.01.2018
Autor: Dom_89

Hallo Diophant,

vielen Dank für die schnelle Antwort!

Ich habe deinen Tipp einmal umgesetzt:

I [mm] 3x^2-3y [/mm] = 0
II [mm] 3y^2-3x [/mm] = 0

Beide Gleichungen durch 3 dividiert ergibt dann:

I [mm] x^2-y [/mm] = 0
II [mm] y^2-x [/mm] = 0

Ich stehe dennoch etwas auf dem Schlauch - den ich kann ja nun noch sagen, dass:

I [mm] x^2 [/mm] = y
II [mm] y^2 [/mm] = x

Mit dem Einsetzungsverfahren komme ich doch dann auch nicht zu meiner Lösung, oder doch ?

Danke und Gruß

Bezug
                        
Bezug
Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Di 09.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo Diophant,

>

> vielen Dank für die schnelle Antwort!

>

> Ich habe deinen Tipp einmal umgesetzt:

>

> I [mm]3x^2-3y[/mm] = 0
> II [mm]3y^2-3x[/mm] = 0

>

> Beide Gleichungen durch 3 dividiert ergibt dann:

>

> I [mm]x^2-y[/mm] = 0
> II [mm]y^2-x[/mm] = 0

>

> Ich stehe dennoch etwas auf dem Schlauch - den ich kann ja
> nun noch sagen, dass:

>

> I [mm]x^2[/mm] = y
> II [mm]y^2[/mm] = x

>

> Mit dem Einsetzungsverfahren komme ich doch dann auch nicht
> zu meiner Lösung, oder doch ?

nun, wie gesagt: scharf hinsehen führt sofort zu der Vermutung, dass die beiden Lösungen (0,0) und (1,1) lauten.

Rechnen wir mal. Ich quadriere Gleichung II:

[mm] y^4=x^2 [/mm]

und gehe damit in Gleichung I ein:

[mm] \begin{aligned} y^4&=y \gdw\\ y^4-y&=0 \gdw\\ y(y^3-1)&=0 \Rightarrow\\ y_1&=0\\ y_2&=1 \end{aligned} [/mm]

Jetzt kannst du diese beiden Werte für y in Gleichung II einetzen, fertig.


Gruß, Diophant

 

Bezug
                                
Bezug
Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Di 09.01.2018
Autor: Dom_89

Vielen Dank, jetzt habe ich den Weg dorthin verstanden!

Für meine weitere Rechnung ergeben sich doch dann 4 mögliche Extremstellen, die es zu überprüfen gilt - nämlich

1. (0|0)
2. (0|1)
3. (1|0)
4. (1|1)

Bezug
                                        
Bezug
Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Di 09.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Vielen Dank, jetzt habe ich den Weg dorthin verstanden!

>

> Für meine weitere Rechnung ergeben sich doch dann 4
> mögliche Extremstellen, die es zu überprüfen gilt -
> nämlich

>

> 1. (0|0)
> 2. (0|1)
> 3. (1|0)
> 4. (1|1)

Nein. (0|0) und (1|1) sind die einzigen Lösungen. Eine Probe hätte dir das auch sofort gezeigt!


Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Extrema bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 Di 09.01.2018
Autor: Dom_89

Dann muss ich doch noch einmal fragen:

Ich habe also die beiden Extremstellen (0|0) und (1|1) mit denen ich nun weiter rechnen kann.

i)

[mm] H_{f}(0|0) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0 } [/mm] --> [mm] \mu_{1}=0 [/mm] und [mm] \mu_{2}=-9 [/mm]

det [mm] \pmat{ -\lambda & -3 \\ -3 & -\lambda } [/mm] = [mm] \lambda^2-9 [/mm] --> [mm] \lambda [/mm] = [mm] \pm3 [/mm]

=> [mm] H_{f} [/mm] indefinit --> (0|0) Sattelpunkt mit f(0|0) = 0

ii)

[mm] H_{f}(1|1) [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & -3 \\ -3 & 6 } [/mm] --> [mm] \mu_{1}=6 [/mm] und [mm] \mu_{2}=27 [/mm]

det [mm] \pmat{ 6-\lambda & -3 \\ -3 & 6-\lambda } [/mm] = [mm] (6-\lambda)^2-9 [/mm] --> [mm] \lambda [/mm] = 0

[mm] \lambda_{1}=9 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=3 [/mm]

=> [mm] H_{f} [/mm] ???? --> (1|1) ?? mit f(1|1) = ?


Stimmt mein Lösungsweg so ?

Bezug
                                                        
Bezug
Extrema bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Di 09.01.2018
Autor: Diophant

Hallo,

> Dann muss ich doch noch einmal fragen:

>

> Ich habe also die beiden Extremstellen (0|0) und (1|1) mit
> denen ich nun weiter rechnen kann.

>

> i)

>

> [mm]H_{f}(0|0)[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -3 \\ -3 & 0 }[/mm] --> [mm]\mu_{1}=0[/mm] und
> [mm]\mu_{2}=-9[/mm]

>

> det [mm]\pmat{ -\lambda & -3 \\ -3 & -\lambda }[/mm] = [mm]\lambda^2-9[/mm]
> --> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\pm3[/mm]

>

> => [mm]H_{f}[/mm] indefinit --> (0|0) Sattelpunkt mit f(0|0) = 0

>

> ii)

>

> [mm]H_{f}(1|1)[/mm] = [mm]\pmat{ 6 & -3 \\ -3 & 6 }[/mm] --> [mm]\mu_{1}=6[/mm] und
> [mm]\mu_{2}=27[/mm]

>

> det [mm]\pmat{ 6-\lambda & -3 \\ -3 & 6-\lambda }[/mm] =
> [mm](6-\lambda)^2-9[/mm] --> [mm]\lambda[/mm] = 0

>

> [mm]\lambda_{1}=9[/mm] und [mm]\lambda_{2}=3[/mm]

>

> => [mm]H_{f}[/mm] ???? --> (1|1) ?? mit f(1|1) = ?

>
>

> Stimmt mein Lösungsweg so ?

Das ist alles etwas konfus. Die [mm] \mu_i [/mm] sind die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms?

Jedenfalls sind deine Eigenwerte in beiden Fällen richtig, wenn ich nichts übersehe. Und die Hessematrix an der Stelle (1|1) ist somit positiv definit. Also ist das ein lokales Minimum.


Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Extrema bestimmen: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:35 Do 11.01.2018
Autor: Loddar

Hallo Diophant!


> Ich quadriere Gleichung II: [mm]y^4=x^2[/mm]

Das ist hier etwas unglücklich formuliert.
Zum einen ist das Quadrieren der Gleichung nicht notwendig, zum anderen wäre das auch keine Äquivalenzumformung.

Es genügt doch einfach zu sagen, dass man $x \ = \ [mm] y^2$ [/mm] in die andere Gleichung einsetzt.


Gruß
Loddar

Bezug
                                        
Bezug
Extrema bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 Do 11.01.2018
Autor: Diophant

Hallo Loddar,

> > Ich quadriere Gleichung II: [mm]y^4=x^2[/mm]

>

> Das ist hier etwas unglücklich formuliert.
> Zum einen ist das Quadrieren der Gleichung nicht
> notwendig, zum anderen wäre das auch keine
> Äquivalenzumformung.

>

> Es genügt odch einfach zu sagen, dass man [mm]x \ = \ y^2[/mm] in
> die andere Gleichung einsetzt.

das läuft auf das gleiche hinaus. Ob man das nun benennt oder nicht, beim Einsetzen wird quadriert. Und ja: das ist keine Äquivalenzumformung (es ist ja schließlich auch kein lineares Gleichungssystem). Das kann man sehen, wenn man y=1 in die Gleichung I einsetzt, um x zu berechnen. Da kommt eine Scheinlösung x=-1 heraus, die ich aber gar nicht erst erwähnt habe, denn sie wird durch eine Probe in Gleichung II ja leicht entlarvt.

Man kann beim Lösen nicht-linearer Gleichungen bzw. Gleichungssysteme nicht ohne (potentiell) nicht-äquivalente Umformungen auskommen.


Gruß, Diophant

Bezug
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