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Extremwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Aufgabe
Welche Abmessungen sind für einen Quader mit größtmöglichem
Volumen zu wählen, wenn folgende Einschränkungen zu beachten
sind?

• Länge, Breite und Höhe ergeben zusammen 90 cm.
• Die Breite beträgt
    2/3 der Länge.
Bestimmen Sie das maximale Volumen in Litern!

die Hauptbedingungung ist doch V  (L,b,h) = L*b*h

Wie aber muss ich die Nebenbedingung gestalten? ich weiß das ich 90cm und 2/3 der Länge da mit einbinden muss.. aber wie?

        
Bezug
Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 So 12.05.2013
Autor: notinX

Hallo,

> Welche Abmessungen sind für einen Quader mit
> größtmöglichem
>  Volumen zu wählen, wenn folgende Einschränkungen zu
> beachten
>  sind?
>  
> • Länge, Breite und Höhe ergeben zusammen 90 cm.
>  • Die Breite beträgt
>      2/3 der Länge.
>  Bestimmen Sie das maximale Volumen in Litern!
>  die Hauptbedingungung ist doch V  (L,b,h) = L*b*h

[ok]

>  
> Wie aber muss ich die Nebenbedingung gestalten? ich weiß
> das ich 90cm und 2/3 der Länge da mit einbinden muss..
> aber wie?  

Übersetze einfach ganz stur die Worte in Gleichungen:
'Länge, Breite und Höhe ergeben zusammen 90 cm.' [mm] $\Rightarrow [/mm] L+b+h=90$
'Die Breite beträgt 2/3 der Länge.' [mm] $\Rightarrow b=\frac{2}{3}L$ [/mm]

Gruß,

notinX


Edit: Mit Integration hat diese Aufgabe übrigens nichts zu tun.

Bezug
                
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Extremwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

also die NB lautet: L + 2/3L + h = 90cm

aber ich brauch doch noch eine zweite weil die HB von L,b,h abhängig ist?

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Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 So 12.05.2013
Autor: M.Rex


> also die NB lautet: L + 2/3L + h = 90cm

>

> aber ich brauch doch noch eine zweite weil die HB von L,b,h
> abhängig ist?

Die Nebenbedingung [mm] l+\frac{2}{3}l+h=90\Leftrightarrow90-\frac{5}{3}l=h [/mm] ist doch korrekt.

Setzte das und [mm] b=\frac{2}{3}l [/mm] nun in
[mm] $V=l\cdot b\cdot [/mm] h$ ein, und du bekommst:

[mm] V=l\cdot\frac{2}{3}l\cdot\left(90-\frac{5}{3}l\right) [/mm]

Nun hast du die Zielfunktion, die nur noch von l abhängig ist, von der du das Maximum bestimmen sollst.

Tipp: Wenn du alle Längen in dm rechnest, kannst ersparst du dir das Umrechnen der Volumina, denn 1dm³=1l, also solltest du mit der folgenden Funktion rechnen, bei der alle Angaben in dm eingegeben werden.

[mm] V=l\cdot\frac{2}{3}l\cdot\left(9-\frac{5}{3}l\right) [/mm]

Natürlich solltest du diese Funktion noch vereinfachen, bevor du auf den üblichen Wegen der Differentialrechnung (die Integralrechnung ist hier nicht das Mittel der Wahl)
das Maximum dieser Funktion bestimmst.

EDIT: Ich sehe gerade, dass du in deinem Profil angibst "Mathe-Professor", dann sollte diese Aufgabe doch überhaupt kein Problem darstellen. Editiere das bitte passend, damit du auch deinem Kenntnis entsprechende Antworten bekommst.

Marius

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Extremwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Danke das hat mich jetzt einen weiten Schritt nach vorne gebracht.
Brauch ich denn nun noch eine Nebenbedingung? Ich steh grad total auf dem Schlauch :/

Habe nun wie gesagt 90-5/3 L = h

das h nun in die HB eingesetzt und somit :

V= L * 2/3L * ( 90 - 5/3 L )


welche Unbekannte kommt nun? wie haben ja alle Informationen des Textes nun verwendet?

Bezug
                                        
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Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 So 12.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Danke das hat mich jetzt einen weiten Schritt nach vorne
> gebracht.
> Brauch ich denn nun noch eine Nebenbedingung? Ich steh
> grad total auf dem Schlauch :/

Nein, ich habe dir soch schin deine Zielfunktion angegeben

>

> Habe nun wie gesagt 90-5/3 L = h

>

> das h nun in die HB eingesetzt und somit :

>

> V= L * 2/3L * ( 90 - 5/3 L )

Genau das hatte ich auch schon angegeben.

>
>

> welche Unbekannte kommt nun? wie haben ja alle
> Informationen des Textes nun verwendet?

Ja, bis auf, die Tatsache, dass du das Maximum von dieser Funktion suchst, wobei ich mit 9 statt 90 rechnen würde, das erspart dir nachher das Umrechnen von cm³ in Liter.

Nun bist du wieder dran, das Maximum der Funktion V (mit der Variable l) zu suchen. Als Matheprofessor (der du deinem Profil bist) dürfest du damit ja kein Problem haben, erst recht nicht, wenn das Schlagwort Differentialrechnung schon gefallen ist.

Im folgenden gehe ich von der"Dezimeterfunktion" [mm] V(l)=l\cdot\frac{2}{3}l\cdot\left(9-\frac{5}{3}l\right) [/mm] aus

Hast du das Maximum, ist die y-Koordinate das Maximale Volumen, die l-Koordinate die zugehörige Länge, und da [mm] b=\frac{2}{3}l [/mm] und [mm] h=9-\frac{5}{3}l [/mm] aus den Nebenbedingungen bekannt sind, kannst du damit dann auch die Breite und die Höhe berechnen, l ist ja bekannt. (Nochmal: Alle Längen, l, b und h sind in dm, das Volumen in dm³=l)

Marius

Bezug
                                                
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Extremwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Entschuldige, das mit den Professer ist wohl unbewusst bei der Anmeldung entstanden, hab ich schon geändert.

Also ich brauche jetzt nur noch Variabel L

b und h haben wir ja schon..

Wenn die beiden , wie oben schon beschrieben in der HB eingesetzt werden, was kann ich denn nun damit anfangen? Sorry das Thema ist schon etwas her, schreiben Dienstag Abschlussprüfung und hab gerade einfach kein Plan wie ich die Aufgabe zuende führe :(

Bezug
                                                        
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Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 So 12.05.2013
Autor: M.Rex

Hallo

> Entschuldige, das mit den Professer ist wohl unbewusst bei
> der Anmeldung entstanden, hab ich schon geändert.

Dann ist ja gut.


>

> Also ich brauche jetzt nur noch Variabel L

>

> b und h haben wir ja schon..

>

In Abhängigkeit von l, ja.


> Wenn die beiden , wie oben schon beschrieben in der HB
> eingesetzt werden, was kann ich denn nun damit anfangen?

Dann hast du die Zielfunktion, alles in dm
[mm] V(l)=l\cdot\frac{2}{3}l\cdot\left(9-\frac{5}{3}l\right) [/mm]
[mm] =\frac{2}{3}l^{2}\cdot\left(9-\frac{5}{3}l\right) [/mm]
[mm] =6l^{2}-\frac{10}{9}l^{3} [/mm]

Von dieser Funktion suchst du jetzt den Hochpunkt. Berechne also die Stellen, an denen V'(l)=0 gilt, mache an diesen Werten für l dort die Probe mit der notwendigen Bedingung (Üblicherweise mit der 2. Ableitung, für einen Hochpunkt gilt V''(l)<0, aber auch das Vorzeichenwechselkriterium ist eine gültige notwendige Bedingung)

> Sorry das Thema ist schon etwas her, schreiben Dienstag
> Abschlussprüfung und hab gerade einfach kein Plan wie ich
> die Aufgabe zuende führe :(

Wenn du Dienstag Abschlussprüfung hast, hsat du sicher nicht zum ersten Mal einen Hochpunkt einer Funktion ermittelt.

Bei konkreten Fragen oder zum Wiederholen schau auch mal bei []poenitz-net, dort hast du eine recht kompakte Möglichkeit, Themen zu wiederholen.

Marius

Bezug
                                                                
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Extremwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Also ich hab die HB mit der Variabel L nun zusammengefasst:

60L² - 10/9 L³

(Bin von 90cm ausgegangen)

die erste Ableitung ist

30/9 L² + 120 L  

die Nullsetzen

dann laut PQ Formel ist L = 6   bzw  -6



Bezug
                                                                        
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Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 12.05.2013
Autor: MathePower

Hallo Sancezz,

> Also ich hab die HB mit der Variabel L nun
> zusammengefasst:
>  
> 60L² - 10/9 L³
>  
> (Bin von 90cm ausgegangen)
>  
> die erste Ableitung ist
>  
> 30/9 L² + 120 L  
>


Da ist ein Vorzeichen verlorengegangen:

[mm]\blue{-}\bruch{30}{9}L^{2}+120L[/mm]


> die Nullsetzen
>  
> dann laut PQ Formel ist L = 6   bzw  -6
>


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                        
Bezug
Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 So 12.05.2013
Autor: M.Rex


> Also ich hab die HB mit der Variabel L nun
> zusammengefasst:

>

> 60L² - 10/9 L³

>

> (Bin von 90cm ausgegangen)

>

> die erste Ableitung ist

>

> 30/9 L² + 120 L

Von Vorzeichen mal abgesehen, [mm] \frac{30}{9}=\frac{10}{3} [/mm]

>

> die Nullsetzen

>

> dann laut PQ Formel ist L = 6 bzw -6

Nein, erstens brauchst du die p-q-Formel hier nicht, denn du kannst den Satz des Nullproduktes nehmen, der da besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist.
Und zweitens musst du dich beim Anwenden der p-q-Formel  verrechnet haben.

[mm] V'(l)=\frac{10}{3}l^{2}-120l=l\cdot\left(\frac{10}{3}l-120\right) [/mm]

Und für die Gleichung
[mm] l\cdot\left(\frac{10}{3}l-120\right)=0 [/mm] kannst du nun die beiden Faktoren getrennt voeneinander betrachten/Nullsetzen.

Es fehlt noch die Probe, welche Länge l zu einem Maximum des Volumens führt, und du musst mit dieser Länge dann noch das Maximalvolumen sowie die zugehörige Breite und Höhe berechnen.

Marius

Bezug
                                                                                
Bezug
Extremwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:46 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

also durch das ausklammer des L komm ich auf 120 * 30/9

L = 36

b = 24

dann ist h 30  

36+34+30 = 90

dann l * b * h

das Volumen beträgt 25920 cm³ = 25,92 Liter

Bezug
                                                                                        
Bezug
Extremwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

ich meinte natürlich 36+24+30=90

Bezug
                                                                                        
Bezug
Extremwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 So 12.05.2013
Autor: M.Rex


> also durch das ausklammer des L komm ich auf 120 * 30/9

Du musst ein bisschen mehr Schreiben und ein bisschen gründlicher Arbeiten.

Die Gleichung $ [mm] l\cdot\left(\frac{10}{3}l-120\right)=0 [/mm] $ wird gelöst, wenn der erste Faktor, also l Null ist, also für l=0 und wenn der zweite Faktor, also [mm] \frac{10}{3}l-120=0 [/mm] ist.

Und [mm] \frac{10}{3}l-120=0 [/mm] führt zu l=36, das ist korrekt.
Die Frage ist, ob das zu einem Hochpunkt führt, also ob $V''(36)<0$. Erst dann macht es Sinn, das ganze weiterzurechnen.

>

> L = 36

>

> b = 24

>

> dann ist h 30

>

> 36+34+30 = 90

>

> dann l * b * h

>

> das Volumen beträgt 25920 cm³ = 25,92 Liter

Das ist korrekt, du hättest für das Volumen aber auch V(36) berechnen können.

Marius

Bezug
                                                                                                
Bezug
Extremwertberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:05 So 12.05.2013
Autor: Sancezz

Alles Klar, Ich bedanke mich.

Bezug
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