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| Aufgabe | Bestimmen Sie Lage, Art und Größe der lokalen Extrema folgender Funktionen.
a) [mm] f:\IR^3 \to \IR, f(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^2-2xy+2x+3y^2+2yz-8y+\bruch{5}{2}z^2-7z+\bruch{15}{2}
[/mm]
b) [mm] f:\IR^3 \to \IR, f(x,y,z)=\bruch{1}{2}x^2+2xy+4xz-y^2+2yz+\bruch{1}{2}z^2-6x-6y-9z+42 [/mm] |
a) [mm] f(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^2-2xy+2x+3y^2+2yz-8y+\bruch{5}{2}z^2-7z+\bruch{15}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=7x-2y+2=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=6y+2z-8-2x=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=5z-7+2y
[/mm]
[mm] x=\bruch{-52}{101}
[/mm]
[mm] y=\bruch{81}{101}
[/mm]
[mm] z=\bruch{109}{101}
[/mm]
kritische stelle [mm] (\bruch{-52}{101};\bruch{81}{101};\bruch{109}{101})
[/mm]
[mm] H_f=\pmat{ 7 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5}
[/mm]
[mm] det(H_f)>0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial^2 x}>0
[/mm]
die kritische stelle ist ein Minimum
ich bitte um korrektur
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Hallo arbeitsamt,
> Bestimmen Sie Lage, Art und Größe der lokalen Extrema
> folgender Funktionen.
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> a) [mm]f:\IR^3 \to \IR, f(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^2-2xy+2x+3y^2+2yz-8y+\bruch{5}{2}z^2-7z+\bruch{15}{2}[/mm]
>
> b) [mm]f:\IR^3 \to \IR, f(x,y,z)=\bruch{1}{2}x^2+2xy+4xz-y^2+2yz+\bruch{1}{2}z^2-6x-6y-9z+42[/mm]
>
> a)
> [mm]f(x,y,z)=\bruch{7}{2}x^2-2xy+2x+3y^2+2yz-8y+\bruch{5}{2}z^2-7z+\bruch{15}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=7x-2y+2=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=6y+2z-8-2x=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f(x,y,z)}{\partial z}=5z-7+2y[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{-52}{101}[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{81}{101}[/mm]
>
> [mm]z=\bruch{109}{101}[/mm]
>
> kritische stelle
> [mm](\bruch{-52}{101};\bruch{81}{101};\bruch{109}{101})[/mm]
>
Die kritische Stelle stimmt nicht.
> [mm]H_f=\pmat{ 7 & -2 & 0 \\ -2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 5}[/mm]
>
> [mm]det(H_f)>0[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial^2 x}>0[/mm]
>
> die kritische stelle ist ein Minimum
>
> ich bitte um korrektur
Gruss
MathePower
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hallo,
> Die kritische Stelle stimmt nicht.
das ändert aber an meiner lösung nichts, da die hesse matrix hier nicht von einer variabel abhängig ist
die kritische stelle ist (0,1,1)
ist meine lösung (minimum) oben richtig oder muss ich die eigenwerte der hesse matrix bestimmen? das hat der prof mal in einer vorlesung gemacht. ich weiß nicht wann man das tun muss
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Hallo arbeitsamt,
> hallo,
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> > Die kritische Stelle stimmt nicht.
>
> das ändert aber an meiner lösung nichts, da die hesse
> matrix hier nicht von einer variabel abhängig ist
>
> die kritische stelle ist (0,1,1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist meine lösung (minimum) oben richtig oder muss ich die
> eigenwerte der hesse matrix bestimmen? das hat der prof mal
> in einer vorlesung gemacht. ich weiß nicht wann man das
> tun muss
>
Welches Kriterium Du anwendest, bleibt Dir überlassen.
Gruss
MathePower
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es gibt also keine fälle wo ich die methode mit den eigenwerten anwenden muss? weil ich wüsste nicht wieso man das dann tun sollte. wäre nur unnötig mehr arbeit, weil es ja ausreicht die determinate der hesse matrix zu bestimmen. da man für die hesse matrix auch die zweite ableitung nach x bestimtm hat, hat man bereits alles erledigt. wieso sollte man da noch die eigenwerte bestimmen?
ich habe aber fragen zu der methode:
ich habe ein maximum, wenn die determinante >0 und ALLE eigenwerte <0 und ein minimum wenn determinante >0 und alle Eigenwerte >0. stimmt das so?
und was ist wenn die Eigenwerte positiv und negativ sind? habe ich dann ein sattelpunkt?
Bitte alle fragen beantworten.
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Hallo,
es ist richtig, daß an der Stelle (0,1,1) ein Minimum vorliegt.
So, wie Du es hier darstellst, hast Du das entsprechende Kriterium jedoch nicht richtig angewendet.
> es gibt also keine fälle wo ich die methode mit den
> eigenwerten anwenden muss?
Es kann vorkommen, daß das Hauptminorenkriterium Dich bei der Indefinitheit im Stich läßt.
Das Eigenwertkriterium hilft dann weiter.
> weil ich wüsste nicht wieso man
> das dann tun sollte. wäre nur unnötig mehr arbeit, weil
> es ja ausreicht die determinate der hesse matrix zu
> bestimmen.
Du hast das Hauptminorenkriterium noch nicht richtig verstanden.
Für eine [mm] n\times [/mm] n Hessematrix gilt:
- wenn alle n führenden Hauptminoren der Hessematrix positiv sind, ist die Matrix pos. definit, und wir haben ein Minimum.
(Du hast oben versäumt, den 2. Hauptminor zu berechnen, die det der [mm] 2\times [/mm] 2-Matrix links oben.)
- wenn alle n führenden Hauptminoren des (-1)-fachen der Hessematrix positiv sind, ist die Matrix neg. definit, und wir haben ein Max.
Das ist gleichbedeutend damit: alle geraden Hauptminoren pos. und alle ungeraden neg. sind,ist die Matrix neg. definit, Maximum.
-sind alle geraden führenden Hauptminoren negativ und alle ungeraden positiv, dann ist die Matrix indefinit, also Sattelpunkt.
(Es gibt aber noch andere Möglichkeiten, bei denen die Matrix indefinit sein könnte, wo das Hauptminorenkriterium bei der Entscheidung nicht hilft.)
> da man für die hesse matrix auch die zweite
> ableitung nach x bestimtm hat, hat man bereits alles
> erledigt. wieso sollte man da noch die eigenwerte
> bestimmen?
>
> ich habe aber fragen zu der methode:
>
> ich habe ein maximum, wenn die determinante >0 und ALLE
> eigenwerte <0 und ein minimum wenn determinante >0 und alle
> Eigenwerte >0. stimmt das so?
Nein.
Dies stimmt:
wenn alle EW positiv ==> Minimum
alle EW negativ ==> Maximum.
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> und was ist wenn die Eigenwerte positiv und negativ sind?
> habe ich dann ein sattelpunkt?
Ja, wenn es pos. und negative Eigenwerte gibt, hat man einen Sattelpunkt.
>
> Bitte alle fragen beantworten.
Stets zu Diensten. Hoffe, der Herr ist zufrieden.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 13.07.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
> Stets zu Diensten. Hoffe, der Herr ist zufrieden.
ja bin sehr zufrieden, vielen danke
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edit: die frage hat sich erstma erledigt
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Hallo arbeitsamt,
> edit: die frage hat sich erstma erledigt
Ok.
Gruss
MathePower
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