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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwerte mit Lagrange
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Extremwerte mit Lagrange: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 So 04.02.2018
Autor: Pacapear

Aufgabe
Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf der Hyperbel $y = [mm] \frac{1}{x}$, [/mm] welche den kleinsten Abstand zum Koordinatenursprung haben. Verwenden Sie dazu die Lagrange-Multiplikatoren. (Hinweis: Nutzen Sie die Hyperbel als Nebenbedingung.)

Hallo zusammen!

Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, ob ich den richtigen Ansatz gefunden habe und wie ich das dann entstehende Gleichungssystem lösen soll.

Als Ansatz habe ich mir überlegt, den Abstand als zu minimierende Funktion $d(x,y) = [mm] \sqrt{x^2 + y^2}$ [/mm] zu formulieren.

Die Nebenbedingung ist ja $y = [mm] \frac{1}{x} \gdw y-\frac{1}{x} [/mm] = 0$.

Damit erhalte ich als Lagrangefunktion:

[mm] $F(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] \sqrt{x^2 + y^2} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] * [mm] (y-\frac{1}{x})$ [/mm]

Damit bekomme ich folgende Ableitungen, die ich gleich 0 setzen muss:

[mm] $F_x [/mm] = [mm] \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} [/mm] + [mm] \frac{\lambda}{x^2} [/mm] = 0$
[mm] $F_y [/mm] = [mm] \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] = 0$
[mm] $F_{\lambda}=y-\frac{1}{x} [/mm] = 0$

Jetzt habe ich keine Ahnung, wie ich bei diesem System ansetzen soll.
Oft versuche in die ersten zwei Gleichungen nach x bzw. y aufzulösen, dass dann in die dritte einzusetzen, und dann Lambda auszurechen, aber irgendwie funktioniert das hier nicht.

Weiß jemand Rat, oder ist mein Ansatz vielleicht schon völlig falsch?

Danke und VG,
Nadine

        
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 So 04.02.2018
Autor: notinX

Hallo Nadine,

> Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf der Hyperbel [mm]y = \frac{1}{x}[/mm],
> welche den kleinsten Abstand zum Koordinatenursprung haben.
> Verwenden Sie dazu die Lagrange-Multiplikatoren. (Hinweis:
> Nutzen Sie die Hyperbel als Nebenbedingung.)
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, ob ich den
> richtigen Ansatz gefunden habe und wie ich das dann
> entstehende Gleichungssystem lösen soll.
>  
> Als Ansatz habe ich mir überlegt, den Abstand als zu
> minimierende Funktion [mm]d(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/mm] zu
> formulieren.
>  
> Die Nebenbedingung ist ja [mm]y = \frac{1}{x} \gdw y-\frac{1}{x} = 0[/mm].
>  
> Damit erhalte ich als Lagrangefunktion:
>  
> [mm]F(x,y,\lambda) = \sqrt{x^2 + y^2} + \lambda * (y-\frac{1}{x})[/mm]
>  
> Damit bekomme ich folgende Ableitungen, die ich gleich 0
> setzen muss:
>  
> [mm]F_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{\lambda}{x^2} = 0[/mm]
>  
> [mm]F_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \lambda = 0[/mm]
>  
> [mm]F_{\lambda}=y-\frac{1}{x} = 0[/mm]
>  

ich kann bis hier keinen Fehler erkennen.

> Jetzt habe ich keine Ahnung, wie ich bei diesem System
> ansetzen soll.
>  Oft versuche in die ersten zwei Gleichungen nach x bzw. y
> aufzulösen, dass dann in die dritte einzusetzen, und dann
> Lambda auszurechen, aber irgendwie funktioniert das hier
> nicht.

Du könntest z.B. die erste Gleichung zu
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{\lambda}{x^{3}}$ [/mm]
und die zweite Gleichung zu
[mm] $\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{\lambda}{y}$ [/mm]
umformen.

Diese beiden neuen Gleichungen gleichgesetzt liefern dann
[mm] $-\frac{\lambda}{x^{3}}=-\frac{\lambda}{y}\quad\Rightarrow\quad y=x^{3}$ [/mm]

Mit der Nebenbedingung folgt daraus wiederum
[mm] $x^{3}-\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad x^{4}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1$ [/mm]

Kommst Du damit weiter?

>  
> Weiß jemand Rat, oder ist mein Ansatz vielleicht schon
> völlig falsch?
>  
> Danke und VG,
>  Nadine

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 So 04.02.2018
Autor: Pacapear

Hallo!



> ich kann bis hier keinen Fehler erkennen.

:-)


  

> Du könntest z.B. die erste Gleichung zu
>  [mm]\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{\lambda}{x^{3}}[/mm]
>  und die zweite Gleichung zu
>  [mm]\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{\lambda}{y}[/mm]
> umformen.
>  
> Diese beiden neuen Gleichungen gleichgesetzt liefern dann
>  
> [mm]-\frac{\lambda}{x^{3}}=-\frac{\lambda}{y}\quad\Rightarrow\quad y=x^{3}[/mm]
>  
> Mit der Nebenbedingung folgt daraus wiederum
>  [mm]x^{3}-\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad x^{4}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1[/mm]
>  
> Kommst Du damit weiter?

Mit Hilfe von deinem Ansatz habe ich dann $x=1$ und $x=-1$ in die Gleichung [mm] x^3=y [/mm] eingesetzt.

Dann bekomme ich einmal $y=1$ und einmal $y=-1$.

Die kritischen Punkte sind doch dann alle aus x und y bildbaren Kombinationen, oder?

Also hätte ich dann [mm] P_1(1|1) [/mm] , [mm] P_2(1|-1) [/mm] , [mm] P_3(-1|1) [/mm] und [mm] P_4(-1|-1). [/mm]

In der Vorlesung steht, dass die Klassifizierung der Extrempunkte unter Nebenbedingungen nicht Inhalt der Vorlesung ist und dass sich die Frage nach Minimum oder Maximum oft aus der Aufgabenstellung ergibt.

Würde dass dann bedeuten, dass die Punkte [mm] P_1 [/mm] bis [mm] P_4 [/mm] diejenigen auf der Hyperbel mit kleinstem Abstand zum Ursprung sind?

Danke und VG,
Nadine

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 So 04.02.2018
Autor: fred97


> Hallo!
>  
>
>
> > ich kann bis hier keinen Fehler erkennen.
>  
> :-)
>  
>
>
> > Du könntest z.B. die erste Gleichung zu
>  >  [mm]\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{\lambda}{x^{3}}[/mm]
>  >  und die zweite Gleichung zu
>  >  [mm]\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{\lambda}{y}[/mm]
> > umformen.
>  >  
> > Diese beiden neuen Gleichungen gleichgesetzt liefern dann
>  >  
> >
> [mm]-\frac{\lambda}{x^{3}}=-\frac{\lambda}{y}\quad\Rightarrow\quad y=x^{3}[/mm]
>  
> >  

> > Mit der Nebenbedingung folgt daraus wiederum
>  >  [mm]x^{3}-\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad x^{4}=1\quad\Rightarrow\quad x=\pm1[/mm]
>  
> >  

> > Kommst Du damit weiter?
>  
> Mit Hilfe von deinem Ansatz habe ich dann [mm]x=1[/mm] und [mm]x=-1[/mm] in
> die Gleichung [mm]x^3=y[/mm] eingesetzt.
>  
> Dann bekomme ich einmal [mm]y=1[/mm] und einmal [mm]y=-1[/mm].
>  
> Die kritischen Punkte sind doch dann alle aus x und y
> bildbaren Kombinationen, oder?
>  
> Also hätte ich dann [mm]P_1(1|1)[/mm] , [mm]P_2(1|-1)[/mm] , [mm]P_3(-1|1)[/mm] und
> [mm]P_4(-1|-1).[/mm]
>  
> In der Vorlesung steht, dass die Klassifizierung der
> Extrempunkte unter Nebenbedingungen nicht Inhalt der
> Vorlesung ist und dass sich die Frage nach Minimum oder
> Maximum oft aus der Aufgabenstellung ergibt.
>  
> Würde dass dann bedeuten, dass die Punkte [mm]P_1[/mm] bis [mm]P_4[/mm]
> diejenigen auf der Hyperbel mit kleinstem Abstand zum
> Ursprung sind?
>  

1. Eine Skizze  hilft  ungemein!

2. Liegen denn die  Punkte [mm] P_2 [/mm] und  [mm] P_3 [/mm] auf der Hyperbel?


> Danke und VG,
>  Nadine


Bezug
                                
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 So 04.02.2018
Autor: Pacapear

Hallo!



> 1. Eine Skizze  hilft  ungemein!

Hatte ich sogar :-)



> 2. Liegen denn die  Punkte [mm]P_2[/mm] und  [mm]P_3[/mm] auf der Hyperbel?

Nee, nur [mm] P_1(1|1) [/mm] und [mm] P_4(-1|-1) [/mm] liegen auf der Hyperbel und haben damit den kleinsten Abstand zum Ursprung.

Richtig so?

VG Nadine

Bezug
                                        
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 So 04.02.2018
Autor: notinX


> > 1. Eine Skizze  hilft  ungemein!
>
> Hatte ich sogar :-)

Eine Skizze hilft noch viel mehr wenn man sie auch anschaut ;-)

> > 2. Liegen denn die  Punkte [mm]P_2[/mm] und  [mm]P_3[/mm] auf der Hyperbel?
>
> Nee, nur [mm]P_1(1|1)[/mm] und [mm]P_4(-1|-1)[/mm] liegen auf der Hyperbel
> und haben damit den kleinsten Abstand zum Ursprung.
>  
> Richtig so?

[ok]

>  
> VG Nadine

Gruß,

notinX

Bezug
                                                
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:52 So 04.02.2018
Autor: Pacapear


> > Richtig so?
>  
> [ok]

Danke :-)

Bezug
        
Bezug
Extremwerte mit Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 So 04.02.2018
Autor: fred97


> Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf der Hyperbel [mm]y = \frac{1}{x}[/mm],
> welche den kleinsten Abstand zum Koordinatenursprung haben.
> Verwenden Sie dazu die Lagrange-Multiplikatoren. (Hinweis:
> Nutzen Sie die Hyperbel als Nebenbedingung.)
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht sicher, ob ich den
> richtigen Ansatz gefunden habe und wie ich das dann
> entstehende Gleichungssystem lösen soll.
>  
> Als Ansatz habe ich mir überlegt, den Abstand als zu
> minimierende Funktion [mm]d(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}[/mm] zu
> formulieren.
>  

Tipp: d ist minimal [mm] \gdw x^2+y^2 [/mm] ist minimal

Damit kann man komfortabeler rechnen als Du unten.







> Die Nebenbedingung ist ja [mm]y = \frac{1}{x} \gdw y-\frac{1}{x} = 0[/mm].
>  
> Damit erhalte ich als Lagrangefunktion:
>  
> [mm]F(x,y,\lambda) = \sqrt{x^2 + y^2} + \lambda * (y-\frac{1}{x})[/mm]
>  
> Damit bekomme ich folgende Ableitungen, die ich gleich 0
> setzen muss:
>  
> [mm]F_x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \frac{\lambda}{x^2} = 0[/mm]
>  
> [mm]F_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} + \lambda = 0[/mm]
>  
> [mm]F_{\lambda}=y-\frac{1}{x} = 0[/mm]
>  
> Jetzt habe ich keine Ahnung, wie ich bei diesem System
> ansetzen soll.
>  Oft versuche in die ersten zwei Gleichungen nach x bzw. y
> aufzulösen, dass dann in die dritte einzusetzen, und dann
> Lambda auszurechen, aber irgendwie funktioniert das hier
> nicht.
>  
> Weiß jemand Rat, oder ist mein Ansatz vielleicht schon
> völlig falsch?
>  
> Danke und VG,
>  Nadine


Bezug
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