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Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertproblem mit Dreieck
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Extremwertproblem mit Dreieck: Gleichschenkliges Dreieck
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:46 Fr 24.10.2014
Autor: kth

Aufgabe
2 20cm breite Bretter -> eine V-förmige Rinne
Bei welchem Abstand der oberen Kanten ist das Fassungsvermögen am größten?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe ja die beiden Schenkel dieses Dreiecks gegeben (je 20cm) aber wie komme ich denn auf eine extremalbedingung ohne weitere Angaben zum Dreieck. Habe versucht mit Basis als x  eine Gleichung zu erstellen um die Höhe heraus zufinden aber am ende waren die zwei x werte kleiner als null znd das geht ja nicht bei dieser Aufgabe. .. also wie soll ich jz vorgehen?
Danke.

        
Bezug
Extremwertproblem mit Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Fr 24.10.2014
Autor: abakus


> 2 20cm breite Bretter -> eine V-förmige Rinne
> Bei welchem Abstand der oberen Kanten ist das
> Fassungsvermögen am größten?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also ich habe ja die beiden Schenkel dieses Dreiecks
> gegeben (je 20cm) aber wie komme ich denn auf eine
> extremalbedingung ohne weitere Angaben zum Dreieck. Habe
> versucht mit Basis als x eine Gleichung zu erstellen um
> die Höhe heraus zufinden aber am ende waren die zwei x
> werte kleiner als null znd das geht ja nicht bei dieser
> Aufgabe. .. also wie soll ich jz vorgehen?
> Danke.

Hallo,
zwischen den beiden Brettern besteht ein Winkel zwischen 0° und 180°.
Ermittle eine Formel für den Inhalt der Querschnittsfläche in Abhängigkeit  von diesem Winkel und finde heraus, für welchen Winkel diese Fläche maximal wird.
Aus diesem Winkel kannst du danach mit einfachen trigonometrischen Berechnungen auch den sich daraus ergebenden Abstand berechnen.
Gruß Abakus

Bezug
        
Bezug
Extremwertproblem mit Dreieck: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Fr 24.10.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> 2 20cm breite Bretter -> eine V-förmige Rinne
>  Bei welchem Abstand der oberen Kanten ist das
> Fassungsvermögen am größten?
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Also ich habe ja die beiden Schenkel dieses Dreiecks
> gegeben (je 20cm) aber wie komme ich denn auf eine
> extremalbedingung ohne weitere Angaben zum Dreieck. Habe
> versucht mit Basis als x  eine Gleichung zu erstellen um
> die Höhe heraus zufinden aber am ende waren die zwei x
> werte kleiner als null    [haee]

wie das zustande kommen soll, verstehe ich nicht so recht !

> und das geht ja nicht bei dieser
> Aufgabe. .. also wie soll ich jz vorgehen?
>  Danke.


Hallo,

eigentlich sollte das mit deinem Ansatz ebenfalls ganz
gut zu lösen sein, obwohl der Vorschlag von Abakus zu
einer noch einfacheren Lösung führt.

Bezeichnen wir die Brettbreite (die 20 cm) mit a.
Dann hast du ein gleichschenkliges Dreieck mit der
Basis x und den beiden Schenkeln der Länge a.
Für die Höhe h dieses Dreiecks (über der Basis x)
gilt dann:

     $\ h\ =\ [mm] \sqrt{a^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2}$ [/mm]

Die zu maximierende Größe ist der Flächeninhalt F
des Dreiecks, also

     $\ F\ =\ [mm] \frac{x*h}{2}$ [/mm]

Stattdessen kann man z.B. ebensogut die Größe Q
mit

     $\ Q\ =\ [mm] x^2*h^2$ [/mm]

maximieren. Mach daraus eine Funktion Q(x) und löse
die entstehende Extremalaufgabe (natürlich immer
noch unter der Voraussetzung, dass x positiv sein
soll). Da gibt es bestimmt eine positive (und korrekte)
Lösung des Problems !

LG ,    Al-Chwarizmi


Bezug
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