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Flächenabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Hallo,

ich habe mal bitte eine Frage zu geometrischen Berechnungen.
Es ist eine quadratische Funktion gegeben. Diese schneidet die x-Achse. Zwischen Funktion und x-Achse soll nun ein Rechteck eingespannt werden. Die Berechnung von diesem ist jetzt nicht das Problem.

Jedoch soll ich nun noch die Rechtecksfläche in Abhängigkeit von den Nullstellen der quadratischen Funktion darstellen.

Leider habe ich jetzt absolut keine Ahnung wie das funktioniert bzw. wie das genau gemeint ist.

Könnte mir evtl. bitte einen Tipp geben damit ich diese Frage lösen kann.

Ich bedanke mich schon einmal im Vorraus.

        
Bezug
Flächenabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 So 08.12.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> ich habe mal bitte eine Frage zu geometrischen
> Berechnungen.
> Es ist eine quadratische Funktion gegeben. Diese schneidet
> die x-Achse. Zwischen Funktion und x-Achse soll nun ein
> Rechteck eingespannt werden. Die Berechnung von diesem ist
> jetzt nicht das Problem.

  

> Jedoch soll ich nun noch die Rechtecksfläche in
> Abhängigkeit von den Nullstellen der quadratischen
> Funktion darstellen.
>  
> Leider habe ich jetzt absolut keine Ahnung wie das
> funktioniert bzw. wie das genau gemeint ist.
>  
> Könnte mir evtl. bitte einen Tipp geben damit ich diese
> Frage lösen kann.
>  
> Ich bedanke mich schon einmal im Vorraus.



Hallo Ice-Man

zunächst etwas zur Ausdrucksweise: "die Funktion
schneidet die x-Achse" und "zwischen Funktion und
x-Achse" geht eigentlich so nicht. Eine Funktion ist
eine Abbildungsvorschrift. Hier in diesem Zusammen-
hang geht es aber um den Graph der Funktion, also
die Kurve in der x-y-Ebene, welche die Funktion
darstellt.

Ich vermute, dass die eigentliche Aufgabe ein
Extremwertproblem war. Obwohl das nicht das
Thema deiner Frage ist, wäre es aber trotzdem gut
zu wissen, um was es genau ging - man könnte sich
da z.B. auch unterschiedliche Extremwertaufgaben
vorstellen !

Du hast auch keinerlei zahlenmäßige Angaben
gemacht. Vielleicht soll aber ja das Ziel sein,
die Aufgabe eben zahlenunabhängig, sondern
in allgemeiner Form zu lösen. Dann kannst du
so vorgehen:

Die Gleichung einer quadratischen Funktion mit
den Nullstellen u und v lautet:

     $\ f(x)\ =\ a*(x-u)*(x-v)$

Bei deiner nächsten Frage solltest du angeben,
wie die Aufgabe konkret lautete und auch, was
du zur Lösung schon unternommen hast.

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                
Bezug
Flächenabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Es ist ein Brückenbogen in Form einer Parabel mit folgender Funktionsgleichung gegeben.

[mm] y=-0,03x^{2}+1,2x [/mm]

Dieser schneidet die x-Achse bei [0;0] und [40;0]. Nun soll ein möglichst großes Rechteck aufgespannt werden.

Frage a)
Stellen sie die maximale Rechtecksfläche in Abhängigkeit von den Auflagepunkten=Nullstellen dar.

Frage b)
Für welchen Wert von x wird die größte Fläche erziehlt und wie groß ist sie.

Sorry, das war dann mein Fehler, aber trotzdem danke für deine Hilfe.

Ich habe jetzt mal die Aufgabenstellung gepostet.

Wie gesagt, bei der Frage a habe ich keine Idee.

Und bei der Frage b habe ich irgendwie einen ganz großen Denkfehler. Denn mein Ergebnis ist alles andere als logisch.
Ich schreibe mal meinen Lösungsweg, und vielleicht kann mir ja auch jemand sagen wo ich meinen Fehler gemacht habe bzw. wo ich mich verrechnet habe.

A=2a*b=2x*y

[mm] y=-0,03x^{2}+1,2x [/mm]

[mm] A=2x*(-0,03x^{2}+1,2x)=-0,06x^{3}+2,4x^{2} [/mm]
[mm] A'=-0,18x^{2}+4,8x [/mm]
A''=-0,36x+4,8

A'=0
0=x(-0,18x+4,8)
[mm] x_{1}=0 [/mm]
[mm] x_{2}=26,67 [/mm]

Und das ist ja schon wie ich finde nicht korrekt. Denn dieser Wert ist viel zu groß und wenn ich damit weiterrechne erhalte ich nicht die Lösung. Nur leider weis ich nicht wo ich meinen Fehler habe.

Ich wäre wirklich dankbar wenn mir das jemand erklären könnte.

Sollte ich dennoch Angaben vergessen haben bitte ich dies zu entschuldigen und reiche sie dann noch selbstverständlich nach.


Bezug
                        
Bezug
Flächenabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:35 So 08.12.2013
Autor: Steffi21

Hallo,

[Dateianhang nicht öffentlich]

die Nullstellen sind [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=40, [/mm] bezeichnen wir den Abstand von [mm] x_1 [/mm] bis zum Punkt A mit a, der Abstand von B bis [mm] x_2 [/mm] ist ebenso a. Jetzt sind die Rechteckseiten:
40-2a und f(a)

die Fläche ergibt sich: A=(40-2a)*f(a)

Steffi

PS: Danke an Al-Chwarizmi, ich habe die fehlende 2 ergänzt

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Flächenabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Danke,

aber müsste es nicht heißen A=(40-2a)*f(a)?

Ich hatte nämlich auch den Gedanken das ich diese Aufgabe lösen kann indem ich mir vorstelle das die y-Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.

Aber wäre das denn eigentlich falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Flächenabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:09 So 08.12.2013
Autor: M.Rex


> Danke,

>

> aber müsste es nicht heißen A=(40-2a)*f(a)?

>

> Ich hatte nämlich auch den Gedanken das ich diese Aufgabe
> lösen kann indem ich mir vorstelle das die y-Achse durch
> den Scheitelpunkt verläuft.

Das tut die Funktion f(x) hier aber nicht

>

> Aber wäre das denn eigentlich falsch?

Ja, weil es nicht zur gegebenen Funktion passt.

Eine Parabel, dessen Scheitel auf der y-Achse liegt, hat die Form f(x)=ax²+c.

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Flächenabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Ich danke dir.

Nur ich muss ehrlich eingestehen das ich leider immer noch nicht ganz verstehe warum die Funktion y=(40-a)*f(a) lautet?
Und nicht y=(40-2a)*f(a)?
Ich verstehe nicht warum ich die "Streck" a nur "einmal subtrahieren muss".

Könntet ihr mir das bitte noch einmal erklären?

Danke

Bezug
                                                        
Bezug
Flächenabhängigkeit: Anfänger am Werk ?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:10 So 08.12.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Ich danke dir.
>
> Nur ich muss ehrlich eingestehen das ich leider immer noch
> nicht ganz verstehe warum die Funktion y=(40-a)*f(a)
> lautet?
>  Und nicht y=(40-2a)*f(a)?
>  Ich verstehe nicht warum ich die "Streck" a nur "einmal
> subtrahieren muss".
>  
> Könntet ihr mir das bitte noch einmal erklären?


Hallo Ice-Man,

ja, da ist Steffi ein Verschreiber passiert. Sie hat
ja zuerst klar angegeben, dass die Grundseite des
Rechtecks gleich 40-2a sei. Also muss der Flächen-
inhalt des Rechtecks gleich
F = (40-2a)*f(a) = (40-2a)*(-0.03 [mm] a^2+1.2 [/mm] a) sein.

Dabei ist a der durch Steffi so bezeichnete x-Wert
des Punktes A.

Nun müssen wir aber aufpassen, nicht alles mögliche
auch mit dem gleichen Buchstaben a zu bezeichnen !
Du hast nun auch schon den Buchstaben y doppelt
mit Bedeutungen belegt (einmal als y-Koordinate zur
Beschreibung der Parabel und dann zweitens als
Flächeninhalt des Rechtecks). Also bitte mehr Auf-
merksamkeit bei der Verwendung von Buchstaben !
Unser Alphabet hat immerhin 26 Buchstaben - und
zur Not könnte man auch Indizes und andere Alphabete
heranziehen.

Ich muss nun allerdings sagen, dass mir an der Formulierung
der Aufgabenstellung einiges ziemlich rätselhaft ist:


Es ist ein Brückenbogen in Form einer Parabel mit
folgender Funktionsgleichung gegeben.

$ [mm] y=-0,03x^{2}+1,2x [/mm] $

Dieser schneidet die x-Achse bei [0;0] und [40;0].
Nun soll ein möglichst großes Rechteck aufgespannt
werden.

Frage a)
Stellen sie die maximale Rechtecksfläche in Abhängigkeit
von den Auflagepunkten=Nullstellen dar.

Frage b)
Für welchen Wert von x wird die größte Fläche erziehlt
und wie groß ist sie.


Meine Kritikpunkte:

1.)  Aus dem Text wird überhaupt nicht klar, wie das
Rechteck überhaupt definiert sein soll !!

2.)  Es wird nicht klar, was mit dem "x" in (b) gemeint sein soll.

3.)  Noch rätselhafter ist, was in (a) mit "Auflagepunkten
=Nullstellen" gemeint sein soll. Mit "Auflagepunkten" sind
möglicherweise die Eckpunkte C und D des Rechtecks ABCD
(nach Steffis Figur) gemeint, in welchen der Bogen dem
Rechteck "aufliegt" - nur haben diese Punkte unmittelbar
gar nix mit den Nullstellen der Funktion f zu tun.

Deshalb meine Frage:  ist die Lehrkraft, die diese Aufgabe
offenbar so formuliert hat, wirklich eine ausgebildete
Mathematik-Lehrkraft ? Handelt es sich möglicherweise
um einen Anfänger ?

LG ,   Al-Chw.



Bezug
                                                                
Bezug
Flächenabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:54 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Ich danke dir zunächst einmal.

Leider kann ich dir auch nicht sagen ob die Lehrkraft ein Anfänger ist. Diese Aufgabe wurde mir nur so, "ohne weiteres" ausgeteilt.

Und mit Auflagepunkten sollen die Punkte gemeint sein wo der "Brückenbogen auf der x-Achse aufliegt".
Aber ich gebe dir vollkommen Recht das dies ein wenig kompliziert formuliert ist.

Bezug
                                                                
Bezug
Flächenabhängigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:19 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Also wäre das soweit korrekt?

[mm] A=(40-2a)(-0,03a^{2}+1,2a) [/mm]
[mm] A=0,06a^{3}-3,6a^{2}+48 [/mm]
[mm] A'=0,18a^{2}-7,2a+48 [/mm]
A''=0,36a-7,2

A'=0
-> [mm] a_{1}=31,54 [/mm]
     [mm] a_{2}=8,45 [/mm]
[mm] a_{2} [/mm] in A'' -> A''<0   Maximum


Nur was sagt mir jetzt das "a", ist das jetzt die "waagerechte Seite" des Rechteckes, oder ist das die "Strecke" die ich "2 mal von 40 subtrahiere"?
Da bin ich mir gerade nicht so wirklich sicher.


Wenn es jetzt die Länge der waagerechten Seite ist dann wäre ja der maximale Flächeninhalt des Rechtecks,

[mm] A=0,06(8,45)^{3}-3,6(8,45)^{2}+48(8,45) [/mm]
A=184,75 FE

Bezug
                                                                        
Bezug
Flächenabhängigkeit: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 So 08.12.2013
Autor: Loddar

Hallo Ice-Man!


> Also wäre das soweit korrekt?
>
> [mm]A=(40-2a)(-0,03a^{2}+1,2a)[/mm]

[ok]


> [mm]A=0,06a^{3}-3,6a^{2}+48[/mm]

[notok] Hier fehlt am letzten Summand noch ein $a_$ .


> [mm]A'=0,18a^{2}-7,2a+48[/mm]

[ok]


> A''=0,36a-7,2

[ok]


> A'=0
> -> [mm]a_{1}=31,54[/mm]
> [mm]a_{2}=8,45[/mm]
> [mm]a_{2}[/mm] in A'' -> A''<0 Maximum

[ok]


> Nur was sagt mir jetzt das "a", ist das jetzt die
> "waagerechte Seite" des Rechteckes, oder ist das die
> "Strecke" die ich "2 mal von 40 subtrahiere"?

Genau für so etwas ist doch die (unabdingbare) Skizze da.
Und man sollte doch wissen, wie man sich selber das $a_$ definiert hat. [kopfschuettel]

[mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] sind die x-Werte der Punkte $B_$ und $A_$ .


> Wenn es jetzt die Länge der waagerechten Seite ist dann
> wäre ja der maximale Flächeninhalt des Rechtecks,
>
> [mm]A=0,06(8,45)^{3}-3,6(8,45)^{2}+48(8,45)[/mm]
> A=184,75 FE

[ok]


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                                
Bezug
Flächenabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 So 08.12.2013
Autor: Ice-Man

Stimmt, da habe ich die "eine Variable" vergessen :).

Aber auf jeden Fall vielen Dank das du das nachgerechnet hast.

Bezug
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