Flächeninhalt zwei Funktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Mo 21.07.2014 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | | Welchen Flächeninhalt schließt die Parabel y = [mm] -x^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] x zusammen mit der Sinusfunktion y = sin x ein ? |
Mathe 1 Klausur, gibts da nen "Kochrezept" für solche Aufgaben ? Hab nichtmal nen Ansatz, keine Ahnung wie man so etwas lößt.
[mm] \integral_{}^{} -x^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] x = [mm] -\bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \pi x^2 [/mm] + c
[mm] \integral_{}^{} [/mm] sinx = - cos x + c
Hab die beiden Funktionen einfach mal integriert, ist ja kein Thema. Schätz mal muss ich eh machen...naja und nu ? ;)
|
|
| |
|
Hallo!
Wichtig ist vor allem, daß du eine Vorstellung davon gewinnst, wie das ganze aussieht, denn nur dann kannst du sagen, wie das genaue Vorgehen ist.
Du hast hier eine Sinus-Funktion und eine nach unten geöffnete Parabel. Um die Fläche dazwischen zu berechnen, benötigst du zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen, was in diesem Fall generell schwierig ist. ABER: Die Parabel hat eine Nullstelle bei x=0, und der Sinus auch. Das ist also ein Schnittpunkt. Glücklicherweise ist die zweite Nullstelle der Parabel bei [mm] x=\pi [/mm] , genauso wie bei der Sinus-Funktion. Damit hast du obere und untere Grenze fürs Integrieren, setzt das ein, und bist fertig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mo 21.07.2014 | | Autor: | TorbM |
Ach...also:
[mm] \integral_{0}^{\pi} -x^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] x = [mm] [-\bruch{1}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \pi x^2] [/mm] von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
= [mm] [\bruch{1}{2} \pi \pi^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} \pi^3] [/mm] - [mm] [\bruch{1}{2} \pi 0^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} 0^3]
[/mm]
= 5,16771278
[mm] \integral_{0}^{\pi} [/mm] sin x = [- cos x] 0 bis [mm] \pi
[/mm]
= (-cos [mm] \pi) [/mm] - (- cos 0)
= 1 - (-1)
= 2
5,16771278 + 2 = 7,16771278 ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ach...also:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} -x^2[/mm] + [mm]\pi[/mm] x = [mm][-\bruch{1}{3}x^3[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} \pi x^2][/mm] von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> = [mm][\bruch{1}{2} \pi \pi^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} \pi^3][/mm] -
> [mm][\bruch{1}{2} \pi 0^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} 0^3][/mm]
> = 5,16771278
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}[/mm] sin x = [- cos x] 0 bis [mm]\pi[/mm]
> = (-cos [mm]\pi)[/mm] - (- cos 0)
> = 1 - (-1)
> = 2
>
> 5,16771278 + 2 = 7,16771278 ?
Das stimmt nicht. Zieh Dir das mal rein:
http://www.ober-bloebaum.de/Berechnung_von_Flachen_zwischen_zwei_Funktionen.pdf
fred
>
|
|
|
| |
|
> Ach...also:
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} -x^2[/mm] + [mm]\pi[/mm] x = [mm][-\bruch{1}{3}x^3[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{2} \pi x^2][/mm] von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> = [mm][\bruch{1}{2} \pi \pi^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} \pi^3][/mm] -
> [mm][\bruch{1}{2} \pi 0^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} 0^3][/mm]
> = 5,16771278
> [mm]\integral_{0}^{\pi}[/mm] sin x = [- cos x] 0 bis [mm]\pi[/mm]
> = (-cos [mm]\pi)[/mm] - (- cos 0)
> = 1 - (-1)
> = 2
> 5,16771278 + 2 = 7,16771278 ?
Hallo TorbM,
die beiden Integrale hast du richtig berechnet, aber
dann hast du ihre Werte addiert anstatt subtrahiert.
Mach dir anschaulich klar, weshalb es eine Subtraktion
sein muss !
Noch etwas: das Endergebnis würde ich nicht mit so
vielen Dezimalen angeben. Stattdessen: erstens das
Resultat in exakter Form (da steckt dann auch noch [mm] \pi
[/mm]
drin) und zweitens als gerundeten Wert mit z.B. drei
Nachkommastellen.
Ferner: du solltest die Integrale korrekt notieren,
nämlich einschließlich Differential "dx" und mit
Klammern um den Integranden, wenn dieser z.B.
aus einer Summe besteht. Also insgesamt:
$\ [mm] A_1\ [/mm] =\ [mm] \integral_{0}^{\pi}(\pi*x-x^2)\,dx\ [/mm] =\ .......$
$\ [mm] A_2\ [/mm] =\ [mm] \integral_{0}^{\pi}sin(x)\ [/mm] dx\ =\ .......$
$\ A\ \ =\ [mm] A_1\,-\,A_2\ [/mm] =\ .......$
LG
Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 21.07.2014 | | Autor: | TorbM |
Okay...nach dem pdf komme ich auf
[mm] \integral_{0}^{\pi} (-x^2 [/mm] + [mm] \pi [/mm] x - sin x)dx
[mm] \bruch{1}{2} \pi x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] + cos x von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2} \pi \pi^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} \pi^3 [/mm] + cos [mm] \pi)-(\bruch{1}{2} \pi 0^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} 0^3 [/mm] + cos 0)
4,1677 - 1 = 3,1677
Kommt das gleiche raus wie wenn ich bei meiner vorherigen Rechnung subtrahiere. Müsste also stimmen.
Nur woher weiß ich denn, dass ich subtrahieren muss ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay...nach dem pdf komme ich auf
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} (-x^2[/mm] + [mm]\pi[/mm] x - sin x)dx
>
> [mm]\bruch{1}{2} \pi x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] + cos x von 0
> bis [mm]\pi[/mm]
>
> [mm](\bruch{1}{2} \pi \pi^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} \pi^3[/mm] + cos
> [mm]\pi)-(\bruch{1}{2} \pi 0^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} 0^3[/mm] + cos 0)
>
> 4,1677 - 1 = 3,1677
Lass doch die bekloppten Dezimalzahlen ...
Der gesuchte Flächeninhalt = [mm] $\bruch{1}{6}\pi^3-2$
[/mm]
>
> Kommt das gleiche raus wie wenn ich bei meiner vorherigen
> Rechnung subtrahiere. Müsste also stimmen.
Stimmt.
>
> Nur woher weiß ich denn, dass ich subtrahieren muss ?
Das wird doch in dem pdf erklärt ...
FRED
|
|
|
| |
|
> > Nur woher weiß ich denn, dass ich subtrahieren muss ?
>
> Das wird doch in dem pdf erklärt ...
Hallo Fred,
ich habe mir die Folien angeschaut. Leider wird dort der
allererste (oder meinetwegen nullte) Schritt gerade nicht
erklärt, sondern es wird angefangen mit der Bestimmung
der beiden Schnittstellen (im Dokument "Schnittpunkte"
genannt) und dann kommt gleich das Integral über die
Differenzfunktion. Weshalb man da die Funktionen subtra-
hieren soll, wird keineswegs erklärt.
Der wichtige Schritt
$ A\ =\ [mm] \integral_{a}^{b}f(x)\ [/mm] dx\ -\ [mm] \integral_{a}^{b}g(x)\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral_{a}^{b}(f(x)-g(x))\ [/mm] dx$
fehlt komplett. Wahrscheinlich müsste man dazu im
zugehörigen Lehrbuch nachschlagen.
Später wird das negative Ergebnis einfach stehen
gelassen und das negative Vorzeichen nicht erklärt.
Man hätte wohl eine bessere Quelle zum Thema
finden können ...
LG , Al
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay...nach dem pdf komme ich auf
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi} (-x^2[/mm] + [mm]\pi[/mm] x - sin x)dx
>
> [mm]\bruch{1}{2} \pi x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] + cos x von 0
> bis [mm]\pi[/mm]
>
> [mm](\bruch{1}{2} \pi \pi^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} \pi^3[/mm] + cos
> [mm]\pi)-(\bruch{1}{2} \pi 0^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} 0^3[/mm] + cos 0)
>
> 4,1677 - 1 = 3,1677
>
> Kommt das gleiche raus wie wenn ich bei meiner vorherigen
> Rechnung subtrahiere. Müsste also stimmen.
>
> Nur woher weiß ich denn, dass ich subtrahieren muss ?
Dein Ergebnis passt. Um zu sehen, dass die Parabel oberhalb der Sinuskurve verläuft, könntest du ihren Scheitelpunkt bestimmen, etwas durch quadratische Ergänzung.
PS: in Sachen Dezimalzahlen schließe ich mich FRED voll und ganz an. Das ist in der Analysis absolut widersinnig (recherchiere etwa einmal die Motive für die Einführung von Koordinatensystemen im 17. Jahrhundert).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mo 21.07.2014 | | Autor: | TorbM |
Blöde Angewohnheit mit den Dezimalzahlen. >_<
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Mo 21.07.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Blöde Angewohnheit mit den Dezimalzahlen. >_<
Du meinst: Taschenrechner.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Mo 21.07.2014 | | Autor: | TorbM |
;-D
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mo 21.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Blöde Angewohnheit mit den Dezimalzahlen. >_<
Nicht unbedingt.
Gewöhns dir nicht ganz ab, denn wenn du später im Beruf die Mathematik tatsächlich benötigst, sind in aller Regel Zahlen gefragt.
Fürs erste kannst du das Ergebnis ja immer auf beide Arten angeben um Nichtpraktiker und Praktiker gleichermaßen zufrieden zu stellen.
Was die Anzahl der Nachkommastellen anlangt, so stimme ich mit meinem Vorredner überein - weniger ist da mehr - man sollte keine nicht vorhandene Genauigkeit vortäuschen. Wobei bei Aufgaben der hier vorliegen Art die Genauigkeit der Angabewerte nicht feststellbar ist. Wenn wir da also von 100%iger Genauigkeit ausgehen, dann musst du natürlich auch das Ergebnis exakt und nicht gerundet angeben.
Was mich bei Beispielen eigentlich immer mehr stört ist der nahezu durchgängige Verzicht auf Einheiten. Bestenfalls wird dann zum Schluss als Feigenblatt ein aus heiterem Himmel fallendes $FE$ oder [mm] $E^2$ [/mm] geschrieben. Das ist schade. Aber das ist natürlich ein Problem, welches bereits durch den Einheitenverzicht in der Angabe bedingt ist.
Gruß RMix
|
|
|
|
