Funktionenfolge, Einheitskugel < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 25.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Im Banachraum C[0,1] aller stetigen Funktionen f:[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] versehen mit der Supremumsnorm ||.||, sei [mm] K(1):=\{f \in C[0,1]: ||f||\le 1\} [/mm] die abgeschlossene Einheitskugel.
a) Man konstruiere eine Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] von Funktionen [mm] f_n \in [/mm] K(1) mit [mm] ||f_n|| [/mm] =1 für alle n und [mm] f_n f_m [/mm] =0 für alle n [mm] \not= [/mm] m .
b) Man zeige: Die Folge [mm] (f_n)_{n\in \IN} [/mm] besitze keine konvergente Teilfolge. |
Hallo,
Ich hatte bei a) die Idee [mm] f_n(x)=x^n \forall [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] so ist zwar [mm] ||f_n(x)||=1 [/mm] aber [mm] f_n f_m \not= [/mm] 0. Habt ihr eine Idee ? Ich habe Probleme um [mm] f_n f_m [/mm] =0 zu erreichen.
b)
ZZ.: Folge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] besitz keine konvergente Teilfolge [mm] (f_{n_k})_{k\in\IN}
[/mm]
Mit Hilfe von Internet/Bücher bin ich zu dieser Lösung gekommen:
Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge [mm] (f_{n_k})_{k\in\IN}. [/mm] Jede konvergente Folge in einen metrischen Raum ist eine Cauchyfolge.
Jedoch: Seien [mm] f_m, f_n \in (f_n)_{n\in\IN} [/mm] zwei beliebige aber feste Elemente. [mm] ||f_m [/mm] - [mm] f_n|| [/mm] = [mm] sup_{x\in[0,1]} |f_m(x)-f_n(x)| \ge |f_m(x)-f_n(x)| [/mm] für ein beliebiges x [mm] \in [/mm] [0,1]
Da [mm] f_m [/mm] in C[0,1] liegt ist es stetig, d.h. auf der kompakten Menge [0,1] nimmt [mm] f_m [/mm] sein Maximum 1 an: [mm] \exists x_0 \in [/mm] [0,1] sodass [mm] f_m(x_0)=1
[/mm]
D.h. [mm] ||f_m [/mm] - [mm] f_n [/mm] || [mm] \ge |f_m(x_0)-f_n(x_0)| [/mm] = |1-0|=1
Da [mm] f_m [/mm] * [mm] f_n [/mm] =0 muss [mm] f_m (x_0) *f_n(x_0)= [/mm] 0 [mm] \rightarrow f_n(x_0)=0
[/mm]
Da dies für beliebige m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt, kann [mm] (f_{n_k})_{k\in\IN} [/mm] keine Cauchyfolge bezüglich der Supremumsnorm sein.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 25.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Im Banachraum C[0,1] aller stetigen Funktionen f:[0,1]
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] versehen mit der Supremumsnorm ||.||, sei
> [mm]K(1):=\{f \in C[0,1]: ||f||\le 1\}[/mm] die abgeschlossene
> Einheitskugel.
> a) Man konstruiere eine Folge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] von
> Funktionen [mm]f_n \in[/mm] K(1) mit [mm]||f_n||[/mm] =1 für alle n und [mm]f_n f_m[/mm]
> =0 für alle n [mm]\not=[/mm] m .
> b) Man zeige: Die Folge [mm](f_n)_{n\in \IN}[/mm] besitze keine
> konvergente Teilfolge.
> Hallo,
>
> Ich hatte bei a) die Idee [mm]f_n(x)=x^n \forall[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm] so
> ist zwar [mm]||f_n(x)||=1[/mm] aber [mm]f_n f_m \not=[/mm] 0. Habt ihr eine
> Idee ? Ich habe Probleme um [mm]f_n f_m[/mm] =0 zu erreichen.
Ja, eine solche Konstruktion ist nicht naheliegend. Was hast Du denn bisher an Bastelarbeiten gemacht ?
>
> b)
> ZZ.: Folge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] besitz keine konvergente
> Teilfolge [mm](f_{n_k})_{k\in\IN}[/mm]
> Mit Hilfe von Internet/Bücher bin ich zu dieser Lösung
> gekommen:
> Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge
> [mm](f_{n_k})_{k\in\IN}.[/mm] Jede konvergente Folge in einen
> metrischen Raum ist eine Cauchyfolge.
>
> Jedoch: Seien [mm]f_m, f_n \in (f_n)_{n\in\IN}[/mm] zwei beliebige
> aber feste Elemente. [mm]||f_m[/mm] - [mm]f_n||[/mm] = [mm]sup_{x\in[0,1]} |f_m(x)-f_n(x)| \ge |f_m(x)-f_n(x)|[/mm]
> für ein beliebiges x [mm]\in[/mm] [0,1]
O.K.
> Da [mm]f_m[/mm] in C[0,1] liegt ist es stetig, d.h. auf der
> kompakten Menge [0,1] nimmt [mm]f_m[/mm] sein Maximum 1 an:
Nein, sondern [mm] |f_m| [/mm] nimmt sein Maximum 1 an.
> [mm]\exists x_0 \in[/mm]
> [0,1] sodass [mm]f_m(x_0)=1[/mm]
S.o.: [mm]|f_m(x_0)|=1[/mm]
> D.h. [mm]||f_m[/mm] - [mm]f_n[/mm] || [mm]\ge |f_m(x_0)-f_n(x_0)|[/mm] = |1-0|=1
> Da [mm]f_m[/mm] * [mm]f_n[/mm] =0 muss [mm]f_m (x_0) *f_n(x_0)=[/mm] 0 [mm]\rightarrow f_n(x_0)=0[/mm]
>
> Da dies für beliebige m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt, kann
> [mm](f_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] keine Cauchyfolge bezüglich der
> Supremumsnorm sein.
Ich denke, dass Du das Richtige meinst. Korrekt, sauber und unmissverständlich hast Du das aber nicht aufgeschrieben!
Ich greife Deine Idee auf:
Angenommen, [mm] (f_n) [/mm] enthält eine konvergente Teilfolge [mm] (f_{n_k}).
[/mm]
Ich bin faul und setze [mm] g_k:=f_{n_k}.
[/mm]
Ist k [mm] \in \IN, [/mm] so ex. ein [mm] x_k \in [/mm] [0,1] mit [mm] |g_k(x_k)|=1.
[/mm]
Nun seien k,j [mm] \in \IN [/mm] und k [mm] \ne [/mm] j.
Dann ist [mm] 0=|(g_k*g_j)(x_k)|=|g_k(x_k)|*|g_j(x_k)|=|g_j(x_k)|, [/mm] also [mm] g_j(x_k)=0.
[/mm]
Es folgt:
(*) [mm] ||g_k-g_j|| \ge |g_k(x_k)-g_j(x_k)|=1.
[/mm]
Da [mm] (g_k) [/mm] bezügl. der Max.-Norm konvergiert, ist [mm] (g_k) [/mm] bezügl. dieser Norm eine Cauchyfolge. Somit ex. ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] mit
$ [mm] ||g_k-g_j|| [/mm] < 1$ für alle k,j [mm] \ge k_0.
[/mm]
Das ist aber ein Widerspruch zu (*)
>
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 26.03.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für deine Verbesserungen zu Bsp b).
Zu Bsp a).
Ich habe das Intervall [0,1] zerlegt in 1/n, n [mm] \in \IN [/mm] Schritte.
[mm] f_0 [/mm] soll z.B die Funktion sein die zwischen 1/2 und 1 wie eine Zacke in der Mitte des Intervalls [1/2,1] zu 1 nach oben und wieder nach unten geht.Die Folge besteht also aus immer dünneren Zacken, die sich nach links verschieben.
Wenn ich mich nicht geirrt habe:
[mm] f_0(x)=\begin{cases} 4x-2, & \mbox{für }1/2 \le x \le 3/4 \\ -4x+4, & \mbox{für} 3/4 < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Dann ist [mm] f_1 [/mm] zwischen [1/3, 1/2] ein Zacken nach oben:
[mm] f_1(x)=\begin{cases} 6x-??, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -6x+??, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Bei den Fragezeichen hab es nicht geschafft d herauszubekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Fr 27.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Verbesserungen zu Bsp b).
>
> Zu Bsp a).
> Ich habe das Intervall [0,1] zerlegt in 1/n, n [mm]\in \IN[/mm]
> Schritte.
> [mm]f_0[/mm] soll z.B die Funktion sein die zwischen 1/2 und 1 wie
> eine Zacke in der Mitte des Intervalls [1/2,1] zu 1 nach
> oben und wieder nach unten geht.Die Folge besteht also aus
> immer dünneren Zacken, die sich nach links verschieben.
> Wenn ich mich nicht geirrt habe:
> [mm]f_0(x)=\begin{cases} 4x-2, & \mbox{für }1/2 \le x \le 3/4 \\ -4x+4, & \mbox{für} 3/4 < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Dann ist [mm]f_1[/mm] zwischen [1/3, 1/2] ein Zacken nach oben:
> [mm]f_1(x)=\begin{cases} 6x-??, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -6x+??, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Bei den Fragezeichen hab es nicht geschafft d
> herauszubekommen.
Was soll denn d sein ?
Du machst also den Ansatz
[mm]f_1(x)=\begin{cases} 6x-d, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -6x+c, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
Da [mm] f_1 [/mm] stetig ist, haben wir
[mm] f_1(1/3)=0 [/mm] und [mm] f_1(1/2)=0.
[/mm]
Das liefert d=2 und c=3.
Nun kann ich nur sagen: Pech für die junge sympatische Mannschaft, denn [mm] f_1 [/mm] erfüllt die Bedingung
[mm] ||f_1||=1
[/mm]
nicht !
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:06 Fr 27.03.2015 | | Autor: | sissile |
Haha,
ja dann schicke ich:
$ [mm] f_0(x)=\begin{cases} 4x-2, & \mbox{für }1/2 \le x \le 3/4 \\ -4x+4, & \mbox{für} 3/4 < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
$ [mm] f_1(x)=\begin{cases} 12x-4, & \mbox{für }1/3 \le x \le 5/12\\ -12x+6, & \mbox{für}5/12 < x \le 1/2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
$ [mm] f_2(x)=\begin{cases} 24x-6, & \mbox{für }1/4 \le x \le 7/24\\ -24x+8, & \mbox{für}7/24 < x \le 1/3 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases} [/mm] $
ins Rennen ;)
Aber wie schreibe ich das allgemein hin? Die Zahlenfolge vor dem x:
4,12,24,40,60,84,... Ich erkenne da kein allgemeines Muster, außer alle sind Teiler von 4.
Ist die Funktionenfolge vlt doch nicht so gut durchdacht für das Bsp.?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 29.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:09 Mo 30.03.2015 | | Autor: | sissile |
Hat noch wer anderer eine Idee für eine andere Funktionenfolge oder kann mir bei meiner helfen?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mo 30.03.2015 | | Autor: | hippias |
Doch, die Idee mit den Huetchenfunktionen ist schon richtig. Es genuegt sicherlich, wenn Du die Funktion mit Worten beschreibst, wenn Du Schwierigkeiten hast ihre Gleichung anzugeben.
Anderenfalls mache folgenden Ansatz: Betrachte das Intervall [mm] $[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] [/mm] mit der Intervall Mitte [mm] $\frac{2n+1}{2n(n+1)}$ [/mm] (o.s.ae). Bestimme nun die Geradengleichung durch die Punkte [mm] $(\frac{1}{n+1},0)$ [/mm] und [mm] $(\frac{2n+1}{2n(n+1)},1)$, [/mm] sowie durch die Punkte [mm] $(\frac{1}{n},0)$ [/mm] und [mm] $(\frac{2n+1}{2n(n+1)},1)$. [/mm] Dann hast Du Deine Funktionenfolge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Mo 30.03.2015 | | Autor: | sissile |
Ah, ich verstehe.
Vielen lieben Dank.
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