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Funktionenring: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Mi 08.11.2017
Autor: mariella22

Aufgabe
Sei R := {f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR [/mm] | f ist eine stetige Abbildung}.
Betrachten Sie die zwei Verknüpfungen f + g und f ·g, die wie folgt definiert sind:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f ·g)(x) = f(x)·g(x)
(bei der Verknüpfung auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens handelt es sich um die übliche Summe beziehungsweise Multiplikation in [mm] \IR). [/mm]

a.)Beweisen Sie, dass R ein Ring ist.
b.) Bestimmen Sie R∗.
c.) Ist es wahr, dass jedes Element aus [mm] R\R∗ [/mm] ein Nullteiler ist?


Hallo und vielen Dank für die Hilfe!

z.Z.:
1.)
Abgeschlossenheit der Verknüpfungen. Also (f +g)(x) ist stetig und (f * g) (x) ist stetig.
Allerdings weiss ich nicht wie man das zeigen kann?

2.) Bzgl der Additiven Gruppe:

Assoz.:
f,g,h [mm] \in [/mm] R
f(x) + (g+h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (f + g)(x) + h(x)

Neutrales Element:
Nullfunktion ist stetig --> es existiert ein neutrales Element

Inverses Element:
Es wäre zu zeigen, dass ein -f existiert welches stetig ist. Aber hier komme ich leider auch nicht weiter

Komm.:
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)

2.) Bzgl. der Multiplikation:

Assoz.:
f,g,h [mm] \in [/mm] R
f(x) * (g*h)(x) = f(x)*g(x)*h(x) = (f*g)(x) * h(x)

1-Element:
Mit der selben Argumentation wie beim Nullelement, konstante Funktion, mit Funktionswert f(x)=1 für alle x ist stetig.

3.) Distributivität
g,f,h [mm] \in [/mm] R

f(x) (g+h)(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) * g(x) + f(x) * h(x)
und
(f+g)(x) * h(x) = (f(x) + g(x)) * h(x) = f(x) * h(x) + g(x) * h(x)


b.)
R* = { r [mm] \in [/mm] R | Es existiert q [mm] \in [/mm] R, qr =rq= 1}
Ich habe das so verstanden, dass die invertierbaren Funktionen gesucht sind. Aber wie finde ich diese mit den gegebenen Informationen heraus?

Vielen Dank für die Hilfe!!







        
Bezug
Funktionenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:17 Do 09.11.2017
Autor: angela.h.b.

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Sei R := {f : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

| f ist eine stetige Abbildung}.

>   Betrachten Sie die zwei Verknüpfungen f + g und f ·g,
> die wie folgt definiert sind:
>   (f + g)(x) = f(x) + g(x)
> (f ·g)(x) = f(x)·g(x)
> (bei der Verknüpfung auf der rechten Seite des
> Gleichheitszeichens handelt es sich um die übliche Summe
> beziehungsweise Multiplikation in [mm]\IR).[/mm]
>  
> a.)Beweisen Sie, dass R ein Ring ist.
>  b.) Bestimmen Sie R∗.
>  c.) Ist es wahr, dass jedes Element aus [mm]R\R∗[/mm] ein
> Nullteiler ist?
>  
> Hallo und vielen Dank für die Hilfe!
>  
> z.Z.:
>  1.)
>  Abgeschlossenheit der Verknüpfungen. Also (f +g)(x) ist
> stetig und (f * g) (x) ist stetig.

Hallo,

das meinst Du nicht:(f+g)(x)und (f*g)(x) sind aus [mm] \IR, [/mm] nämlich die Bilder der Zahl x unter den beiden Abbildungen f+g und f*g.

> Allerdings weiss ich nicht wie man das zeigen kann?

Möglicherweise kannst Du Dich auf bereits gezeigte Sätze der Vorlesung berufen, oder ggf. auf "aus der Analysis weiß man...".
Ansonsten mußt Du es zeigen - da kannst Du Dich von schlauen Büchern inspirieren lassen...

>  
> 2.) Bzgl der Additiven Gruppe:
>
> Assoz.:
>  f,g,h [mm]\in[/mm] R

Zu zeigen: f+(g+h)=(f+g)+h.

[Hierfür ist zu zeigen, daß für jedes [mm] x\in \IR [/mm] gilt:  (f+(g+h))(x)=((f+g)+h)(x)]

Beweis:
Sei [mm] x\in \IR. [/mm]
Es ist
(f+(g+h))(x)=

>  f(x) + (g+h)(x) = f(x) [mm] +\red{(} [/mm] g(x) + [mm] h(x)\red{)} [/mm]

=(f(x)+g(x))+(x)

> = (f + g)(x) + h(x)

=((f+g)+h)(x)

So kleinschrittig mußt Du das machen und für jeden Schritt solltest Du eine Begründung wissen.

>  
> Neutrales Element:
>  Nullfunktion ist stetig --> es existiert ein neutrales

> Element

Du müßtest noch vorrechnen, daß die Nullfunktion alles tut, was sie tun soll.

>  
> Inverses Element:
>  Es wäre zu zeigen, dass ein -f existiert welches stetig
> ist. Aber hier komme ich leider auch nicht weiter

Definiere Dir zu jedem f eine passende Funktion:
Sei [mm] f\in [/mm] R,

und sei
-f: [mm] \IR\to \IR [/mm]
definiert durch
(-f)(x):=-f(x).

[Aufgepaßt! -f ist einfach bloß der Name der neuen Funktion.
-f(x) ist das -1-fache der Zahl f(x).]

Und nun mußt Du vorrechnen, daß f+(-f) die Nullfunktion ergibt,
d.h. daß für jedes [mm] x\in \IR [/mm] gilt (f+(-f))(x)=0.

>  
> Komm.:

zu zeigen:f+g=g+f
Bew.:
sei [mm] x\in \IR [/mm]

>  (f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)
>  
> 2.) Bzgl. der Multiplikation:

Orientiere Dich an dem, was ich Dir zur Addition gesagt habe.

LG Angela

>
> Assoz.:
>  f,g,h [mm]\in[/mm] R
>  f(x) * (g*h)(x) = f(x)*g(x)*h(x) = (f*g)(x) * h(x)
>  
> 1-Element:
>  Mit der selben Argumentation wie beim Nullelement,
> konstante Funktion, mit Funktionswert f(x)=1 für alle x
> ist stetig.
>
> 3.) Distributivität
>  g,f,h [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

R

>  
> f(x) (g+h)(x) = f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) * g(x) + f(x) *
> h(x)
>  und
>  (f+g)(x) * h(x) = (f(x) + g(x)) * h(x) = f(x) * h(x) +
> g(x) * h(x)
>  
>
> b.)
>  R* = { r [mm]\in[/mm] R | Es existiert q [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

R, qr =rq= 1}

>  Ich habe das so verstanden, dass die invertierbaren
> Funktionen gesucht sind. Aber wie finde ich diese mit den
> gegebenen Informationen heraus?
>  
> Vielen Dank für die Hilfe!!
>  
>
>
>
>
>  


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