www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Gilt das auch für f?
Gilt das auch für f? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:52 So 13.12.2015
Autor: mariem

Hallo,

wir betrachten die Differentialgleichung Ly=f in den Ring der exponentiallen Summen \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}] also haben wir dass f=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}.

Wenn wir die Superposition anwenden müssen wir dann Differentialgleichungen der Form Ly=e^{bx} lösen.

Wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit Multiplizität M ist, ist die Lösung in der Form Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].

Wenn b keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, ist die Lösung in der Form Ce^{b x}\in \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].


Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn b keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, richtig?

Das ist äquivalent zu L(e^{b x}) \neq 0, richtig?

Gilt das auch für die originale Differentialgleichung? Also L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0 ?
        
Bezug
Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:51 So 13.12.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>
> wir betrachten die Differentialgleichung Ly=f in den Ring
> der exponentiallen Summen \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]

Ich nehme an, dass es sich um eine lineare DGL höherer Ordnung mit Konstanten Koeffizienten handelt.


> also haben wir dass f=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}.
>
> Wenn wir die Superposition anwenden müssen wir dann
> Differentialgleichungen der Form Ly=e^{bx} lösen.


Ja.



>
> Wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit
> Multiplizität M ist, ist die Lösung in der Form Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].

Nicht " die " Lösung ! Die DGL hat unendlich viele Lösungen. Es gibt aber eine in der obigen Form.



>
> Wenn b keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung
> ist, ist die Lösung in der Form Ce^{b x}\in \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].


Wieder: nicht " die " Lösung ! Die DGL hat unendlich viele Lösungen. Es gibt aber eine in der obigen Form.

>
>
> Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn b
> keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist,
> richtig?


Die  DGL Ly=f hat für jedes(!) stetige f unendlich viele Lösungen !!!


>
> Das ist äquivalent zu L(e^{b x}) \neq 0, richtig?

L(e^{b x}) \neq 0  [mm] \gdw e^{b x} [/mm] ist keine Lösung der homogenen Gl. $Ly=0$  [mm] \gdw [/mm] b ist keine Nullstelle des zugeh. char. Polynoms.



>
> Gilt das auch für die originale Differentialgleichung?
> Also L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0
> ?  


Was soll auch dafür gelten ?

FRED

Bezug
                
Bezug
Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 So 13.12.2015
Autor: mariem

> > wir betrachten die Differentialgleichung Ly=f in den Ring
> > der exponentiallen Summen \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]
>
> Ich nehme an, dass es sich um eine lineare DGL höherer
> Ordnung mit Konstanten Koeffizienten handelt.

Ja.




> > Wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit
> > Multiplizität M ist, ist die Lösung in der Form Cx^Me^{b x}\notin \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].
>
> Nicht " die " Lösung ! Die DGL hat unendlich viele
> Lösungen. Es gibt aber eine in der obigen Form.


Also kann die DGL eine Lösung in den Ring, in einer andere Form, haben auch wenn b eine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung mit Multiplizität M ist?



> > Also die Differentialgleichung hat eine Lösung wenn b
> > keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist,
> > richtig?
>
>
> Die  DGL Ly=f hat für jedes(!) stetige f unendlich viele
> Lösungen !!!

Also hat die DGL auch unendlich viele Lösungen in den Ring \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}] ?



> > Gilt das auch für die originale Differentialgleichung?
> > Also L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0
> > ?  
>
>
> Was soll auch dafür gelten ?


Die Differentialgleichung [mm] Ly=\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x} [/mm] hat eine Lösung in den Ring [mm] \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}] [/mm] wenn und nur wenn für jedes i=0, [mm] \dots, [/mm] n das [mm] \lambda_i [/mm] keine Nullstelle der Charakteristischen Gleichung ist, oder nicht?
Kann man das als eine generelle Bedingung formulieren? Zum Beispiel L\left (\sum_{i=0}^n C_i e^{\lambda_i x}\right ) \neq 0 ?

Bezug
                        
Bezug
Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 13.12.2015
Autor: fred97

All Deine Fragen kannst Du Dir beantworten,wenn Du Dir klar machst,  wie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

   Ly=f

aussieht. Dabei ist f eine stetige Funktion  auf einem Intervall I in R.

Zunächst benötigen wir ein Fundamental -System der homogenen Gleichung

  Ly=0.

Wie sieht ein solches  aus ?

Ist dann [mm] y_s [/mm] eine auf I def.  spezielle Lösung  von Ly=f, so hat jede Lösung von Ly=f die Form

    [mm] y=y_h+y_s, [/mm]

Wobei [mm] y_h [/mm]  Linearkombination der Elemente des obigen FundamentAl -Systems ist

Fred
Bezug
                                
Bezug
Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 So 13.12.2015
Autor: mariem


> Zunächst benötigen wir ein Fundamental -System der
> homogenen Gleichung
>
> Ly=0.
>  
> Wie sieht ein solches  aus ?

In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen Gleichung Ly=0 die folgende:

[mm] y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x} [/mm]

oder nicht?



Bezug
                                        
Bezug
Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:32 So 13.12.2015
Autor: fred97


> > Zunächst benötigen wir ein Fundamental -System der
> > homogenen Gleichung
> >
> > Ly=0.
>  >  
> > Wie sieht ein solches  aus ?
>
> In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen
> Gleichung Ly=0 die folgende:
>
> [mm]y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x}[/mm]
>
> oder nicht?

Ja, es gibt Lösungen dieser Form. Wenn das char. Polynom aber mehrfache Nullstellen hat, gibts noch andere


Z.B. bei

  y''-2y'+y=0 ist auch [mm] xe^x [/mm] eine Lösung.

FRED
>
>
>  

Bezug
                                                
Bezug
Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 13.12.2015
Autor: mariem


> > In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen
> > Gleichung Ly=0 die folgende:
> >
> > [mm]y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x}[/mm]
> >
> > oder nicht?
>
> Ja, es gibt Lösungen dieser Form. Wenn das char. Polynom
> aber mehrfache Nullstellen hat, gibts noch andere
>
>
> Z.B. bei
>
> y''-2y'+y=0 ist auch [mm]xe^x[/mm] eine Lösung.

Ja, aber diese Funktion ist kein Element von den oben ernannten Ring, oder doch?
Bezug
                                                        
Bezug
Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 So 13.12.2015
Autor: fred97


> > > In den oben ernannten Ring sind die Lösungen der homogenen
> > > Gleichung Ly=0 die folgende:
> > >
> > > [mm]y=\sum_{i=0}^n c_i e^{\lambda_i x}[/mm]
> > >
> > > oder nicht?
> >
> > Ja, es gibt Lösungen dieser Form. Wenn das char. Polynom
> > aber mehrfache Nullstellen hat, gibts noch andere
> >
> >
> > Z.B. bei
> >
> > y''-2y'+y=0 ist auch [mm]xe^x[/mm] eine Lösung.
>
> Ja, aber diese Funktion ist kein Element von den oben
> ernannten Ring, oder doch?  

Hab ich oben nicht geschrieben, dass es noch Lösungen geben kann, die nicht zu diesem Ring gehören ???

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Gilt das auch für f?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 So 13.12.2015
Autor: mariem


> Hab ich oben nicht geschrieben, dass es noch Lösungen
> geben kann, die nicht zu diesem Ring gehören ???


Ja, aber wenn man nur die Lösungen die zu diesem Ring gehören betrachten?
Bezug
                                                                        
Bezug
Gilt das auch für f?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 So 13.12.2015
Autor: fred97


> > Hab ich oben nicht geschrieben, dass es noch Lösungen
> > geben kann, die nicht zu diesem Ring gehören ???
>  
>
> Ja, aber wenn man nur die Lösungen die zu diesem Ring
> gehören betrachten?  

Dann betrachtet man eben nur Lösungen aus diesem Ring.......

(warum auch immer.......)

Fred
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de