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Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:44 Do 23.10.2014
Autor: mariem

Hallo!!!

Wie kann ich zeigen dass [mm] 2\cos{ \left ( \frac{2 \pi}{5} \right ) } [/mm] die Gleichung [mm] x^2+x-1=0 [/mm] erfüllt?




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.




        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Do 23.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo!!!
>  
> Wie kann ich zeigen dass [mm]2\cos{ \left ( \frac{2 \pi}{5} \right ) }[/mm]
> die Gleichung [mm]x^2+x-1=0[/mm] erfüllt?

das stimmt nicht, wie Du leicht durch einsetzen sehen kannst:

    $4 [mm] \cos^2(2\pi/5)+\cos(2\pi/5)-1=0$ [/mm]

    [mm] $\iff \cos^2(2\pi/5)+\frac{1}{4}\cos(2\pi/5)-1/4=0$ [/mm]

Betrachten wir nun

    [mm] $y^2+\frac{1}{4}y-\frac{1}{4}=0\,,$ [/mm]

so sind alle Lösungen in [mm] $y\,$ [/mm] gegeben durch

    [mm] $y_{1,2}=-\frac{1}{8}\pm \sqrt{\frac{1}{64}+\frac{16}{64}}=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{8} \in \{0,39...,\;-0,64...\}$ [/mm]

Aber es ist

    [mm] $\cos(2*\pi/5) \approx [/mm] 0,309...$

Wie kommst Du auf [mm] so\was? [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:23 Do 23.10.2014
Autor: mariem


>  
> [mm]4 \cos^2(2\pi/5)+\cos(2\pi/5)-1=0[/mm]

Es ist 4 [mm] \cos^2(2\pi/5)+2\cos(2\pi/5)-1=0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Do 23.10.2014
Autor: Fulla

Hallo mariem!

> >
> > [mm]4 \cos^2(2\pi/5)+\cos(2\pi/5)-1=0[/mm]

>

> Es ist 4 [mm]\cos^2(2\pi/5)+2\cos(2\pi/5)-1=0[/mm]

Dir wurde gerade vorgerechnet, wie man die Aufgabe lösen kann.
Es war zwar ein kleiner Fehler drin, aber den hast du ja sogar selbst erkannt.
Wende also die Methode, die dir gezeigt wurde auf die "richtige Gleichung" an!
(Ich hoffe, dass es hier nicht an der Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen scheitert!)


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:04 Do 23.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> >  

> > [mm]4 \cos^2(2\pi/5)+\cos(2\pi/5)-1=0[/mm]
>  
> Es ist 4 [mm]\cos^2(2\pi/5)+2\cos(2\pi/5)-1=0[/mm]  

das mag sein, aber es ist

    $4 [mm] \cos^2(2\pi/5)+\cos(2\pi/5)-1=4 \cos^2(2\pi/5)+\red{\,2\,}\cos(2\pi/5)-1$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $1=0\,.$ [/mm] ;-)

Ansonsten, wie Fulla sagte: Wiederhole meine Vorgehensweise für die
"richtige" Gleichung, und dann siehst Du, was Du für [mm] $\cos(2\pi/5)$ [/mm] noch zu zeigen
hast (beachte, dass [mm] $\cos(2\pi/5) [/mm] > 0$ sein muss - weil: [mm] $2\pi/5 \textbf{ \red{?} } \pi/2$?). [/mm]

Gruß,
  Marcel

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Bezug
Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Do 23.10.2014
Autor: mariem

[mm] x^2+x-1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} [/mm]

[mm] 4y^2+2y-1=0\Rightarrow y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2} [/mm]

Heisst dass das [mm] 2\cos{(2 \pi /5)} [/mm] die Loesung von [mm] x^2+x-1=0 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Do 23.10.2014
Autor: fred97


> [mm]x^2+x-1=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/mm]

Das stimmt.

>  
> [mm]4y^2+2y-1=0\Rightarrow y_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/mm]

Das stimmt aber nun gar nicht !

FRED

>  
> Heisst dass das [mm]2\cos{(2 \pi /5)}[/mm] die Loesung von [mm]x^2+x-1=0[/mm]
>  


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