www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Grenzwert eines Integrals
Grenzwert eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert eines Integrals: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Di 27.01.2015
Autor: DrRiese

Aufgabe
Zeigen Sie, dass
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}dx \rightarrow [/mm] 0 für n [mm] \rightarrow \infty. [/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1-n^{2}x^{2}}\le \bruch{1}{2\wurzel{x}}. [/mm]

Hey,
bei dieser Aufgabe steh ich momentan ein wenig auf'm Schlauch. Vor allem mit dem Hinweis, ist mir nicht wirklich klar, was damit jetzt gewonnen ist.
Hat jemand zufällig 'ne Idee? :-)



        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Di 27.01.2015
Autor: Jodocus

Schau dir mal die Konvergenzsätze, speziell den Satz der majorisierten Konvergenz an.

Bezug
        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Di 27.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

der Hinweis ist entweder falsch gegeben oder falsch von dir abgetippt.
Es muss natürlich heißen:

> [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}\le \bruch{1}{2\wurzel{x}}.[/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Di 27.01.2015
Autor: DrRiese

Ok, erstmal danke für die Antworten.
Hab mir den Satz bzgl der majorisierten Konvergenz mal angeschaut, aber so richtig schlau bin ich noch nicht geworden:

Also wäre das Prinzip folgendes?

Also sei dann [mm] f_{n} [/mm] unsere Funktionenfolge mit [mm] f_{n}:=\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}, [/mm] die gegen eine messbare Funktion konvergiert. Und wir haben einen Majoranten, die integrierbare Funktion [mm] g:=\bruch{1}{2\wurzel{x}}, [/mm] so dass gilt [mm] |f_{n}| \le [/mm] g
Dann gilt [mm] lim_{n \rightarrow \infty}\integral_{0}^{1} f_{n} [/mm] dx [mm] =\integral_{0}^{1}f [/mm] dx
Also muss ich dann jetzt erstmal das f bestimmen?

LG

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Di 27.01.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Also muss ich dann jetzt erstmal das f bestimmen?

Ja, mach das mal.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Di 27.01.2015
Autor: DrRiese

Hm, ok...

Abschätzung von f:

[mm] lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}}{nx^{2}} \rightarrow [/mm] 0

Aber ich glaube, dass das nicht ganz stimmt, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:04 Di 27.01.2015
Autor: Jodocus

Was führt dich denn zu dieser Annahme, dass das nicht stimmt? Das Endergebnis soll ja auch 0 sein.

Allerdings musst du diese Ungleichung für die Majorante erst einmal zeigen, danach musst du beweisen, dass diese Majorante integrierbar ist und erst dann darfst du limes und Integral vertauschen, den Grenzwert bilden und dann integrieren.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Di 27.01.2015
Autor: fred97


> Hm, ok...
>  
> Abschätzung von f:
>  
> [mm]lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{n\wurzel{x}}{n^{2}x^{2}}=lim_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x}}{nx^{2}} \rightarrow[/mm]
> 0
>  
> Aber ich glaube, dass das nicht ganz stimmt, oder?

Falsch ist das nicht, aber die Darstellung ist miserabel !

   $  [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=\bruch{\bruch{\wurzel{x}}{n}}{\bruch{1}{n^2}+x^{2}} \to [/mm] 0 $  für $ n [mm] \to \infty$ [/mm]

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:32 Mi 28.01.2015
Autor: DrRiese

Ok, super. Dann versuch ich das mal aufzuschreiben:

Behauptung: [mm] g(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] ist eine integrierbare Majorante von [mm] f_{n}(x) [/mm]

[mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2x^{2}\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}^{3}} \le \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]

g(x) ist integrierbar über [0,1], denn
[mm] \integral_{0}^{1}\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx=[\wurzel{x}]_{0}^{1}=1 [/mm] < [mm] \infty [/mm]

Nur wie soll man das mit der Konvergenz der Funktionenfolge korrekt notieren? Da hab ich jetzt nirgendwo richtige Beispiele gefunden, wonach man sich richten könnte

LG


Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Mi 28.01.2015
Autor: fred97


> Ok, super. Dann versuch ich das mal aufzuschreiben:
>  
> Behauptung: [mm]g(x)=\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm] ist eine
> integrierbare Majorante von [mm]f_{n}(x)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx^{2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{x}}{2x^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{x}{2x^{2}\wurzel{x}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2x\wurzel{x}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}^{3}} \le \bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]

Das letzte " [mm] \le [/mm] " ist für x [mm] \in [/mm] (0,1) falsch !

Ich würde so beginnen:

[mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx} [/mm]

Warum ist das richtig ?


>  
> g(x) ist integrierbar über [0,1], denn
>  
> [mm]\integral_{0}^{1}\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx=[\wurzel{x}]_{0}^{1}=1[/mm]
> < [mm]\infty[/mm]

Das ist O.K.


>
> Nur wie soll man das mit der Konvergenz der Funktionenfolge
> korrekt notieren? Da hab ich jetzt nirgendwo richtige
> Beispiele gefunden, wonach man sich richten könnte

Das stimmt doch nicht !!! Das habe ich Dir gestern geschrieben:


   $ [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}}=\bruch{\bruch{\wurzel{x}}{n}}{\bruch{1}{n^2}+x^{2}} \to [/mm] 0 $  für $ n [mm] \to \infty [/mm] $

FRED

>  
> LG
>  


Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 Mi 28.01.2015
Autor: DrRiese

Oh, so ist es natürlich besser. Also:

[mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{x}}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2x\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm]
Und diese Gleichung könnte man dann ja mit vollständiger Induktion zeigen.
Also Behauptung: [mm] 1+n^{2}x^{2} \ge [/mm] 2nx
I.A. n=0
[mm] 1+0^{2}x^{2}=1 \ge [/mm] 0 = 2*0*x
I.V. Als Voraussetzung gelte nun [mm] 1+n^{2}x^{2} \ge [/mm] 2nx
I.S.
[mm] 1+(n+1)^{2}x^{2}=1+(n^{2}+2n+1)x^{2}=1+n^{2}x^{2}+2nx^{2}+x^{2} \ge [/mm] (I.V.) 2nx + [mm] 2nx^{2}+x^{2} \ge [/mm] 2nx + 2x = 2(nx+x) = 2(n+1)x

Also [mm] \bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx} [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwert eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Mi 28.01.2015
Autor: fred97


> Oh, so ist es natürlich besser. Also:
>  
> [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx}[/mm]
> = [mm]\bruch{\wurzel{x}}{2x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{2x\wurzel{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
>  Und diese Gleichung könnte man dann ja mit vollständiger
> Induktion zeigen.
>  Also Behauptung: [mm]1+n^{2}x^{2} \ge[/mm] 2nx
>  I.A. n=0
>  [mm]1+0^{2}x^{2}=1 \ge[/mm] 0 = 2*0*x
>  I.V. Als Voraussetzung gelte nun [mm]1+n^{2}x^{2} \ge[/mm] 2nx
>  I.S.
> [mm]1+(n+1)^{2}x^{2}=1+(n^{2}+2n+1)x^{2}=1+n^{2}x^{2}+2nx^{2}+x^{2} \ge[/mm]
> (I.V.) 2nx + [mm]2nx^{2}+x^{2} \ge[/mm] 2nx + 2x = 2(nx+x) =
> 2(n+1)x
>  
> Also [mm]\bruch{n\wurzel{x}}{1+n^{2}x^{2}} \le \bruch{n\wurzel{x}}{2nx}[/mm]
>  


Binomi, Binomi, ...


$ [mm] 1+n^{2}x^{2} \ge [/mm] 2nx  [mm] \gdw 1+n^2x^2-2nx \ge [/mm] 0 [mm] \gdw (1-nx)^2 \ge [/mm] 0 $

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de