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Grenzwertberechnung: Frage zum limes
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Mi 18.05.2011
Autor: bandchef

Aufgabe
Berechnen sie den Grenzwert von:

[mm] $\lim_{x \to 1} \frac{x^x-x}{1-x+ln(x)}$ [/mm]

Hi Leute!

Wie gehe ich an die obige Aufgabe ran? Ich mein, ich kann ja überall 1 einsetzen was zu 1 im Zähler wie im Nenner führt und dann alles gegen 1 geht. Das erscheint mir aber irgendwie zu einfach...

Könnt ihr mir helfen?

        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo bandchef,

> Berechnen sie den Grenzwert von:
>
> [mm]\lim_{x \to 1} \frac{x^x-x}{1-x+ln(x)}[/mm]
> Hi Leute!
>
> Wie gehe ich an die obige Aufgabe ran? Ich mein, ich kann
> ja überall 1 einsetzen was zu 1 im Zähler wie im Nenner
> führt und dann alles gegen 1 geht.

Das stimmt nicht!

Bedenke, dass [mm] $x^x=e^{x\cdot{}\ln(x)}$ [/mm] ist.

Bei direktem Grenzübergang erhält man den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm]


Wie wär's mit de l'Hôpital?

>  Das erscheint mir aber
> irgendwie zu einfach...
>
> Könnt ihr mir helfen?

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mi 18.05.2011
Autor: bandchef

Hm, hätt ich selber drauf kommen können.

Aber: Wie kommst du im Zähler auf 0? Der Nenner is ja klar...

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hm, hätt ich selber drauf kommen können.
>
> Aber: Wie kommst du im Zähler auf 0? Der Nenner is ja
> klar...

Zähler: [mm]x^x-x=e^{x\cdot{}\ln(x)}-x\longrightarrow e^{1\cdot{}\ln(1)}-1=e^{1\cdot{}0}-1=e^0-1=1-1=0[/mm] für [mm]x\to 1[/mm]

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Mi 18.05.2011
Autor: bandchef

Die Nenner-Ableitung ist ja kein Problem, aber bei der Zähler-Ableitung stock ich grad... Insbesondere bei [mm] $e^{x\cdot ln(x)}$ [/mm]

Ich hab das hier raus:

$... = [mm] \frac{x+e^{x\cdot ln(x)}}{-1+\frac{1}{x}}$ [/mm]

Stimmt das?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertberechnung: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:51 Mi 18.05.2011
Autor: Loddar

Hallo bandchef!


Das stimmt leider nicht. Was hast Du wie gerechnet?


Du must hier die MBKettenregel in Verbindung mit der MBProduktregel anwenden.

Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:53 Mi 18.05.2011
Autor: bandchef

$ ... = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{(x+1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}} [/mm] $

Jetzt stimmts aber

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwertberechnung: bitte vorrechnen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:55 Mi 18.05.2011
Autor: Loddar

Hallo!


> Jetzt stimmts aber

[notok] Nö! Bitte schrittweise vorrechnen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mi 18.05.2011
Autor: bandchef

Jetzt aber:

$ ... = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x)-1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}} [/mm] $

Bezug
                                                                        
Bezug
Grenzwertberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Jetzt aber:
>
> [mm]... = \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x)\red{-}1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}}[/mm]

Fast! Woher kommt das [mm] $\red{-}$ [/mm] ?

Da muss ein "+" hin!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                                
Bezug
Grenzwertberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Mi 18.05.2011
Autor: bandchef

Ok, du hast Recht:

$ ... = [mm] \lim_{x \to 1} \frac{(ln(x)+1)\cdot e^{x\cdot ln(x)}-1}{-1+\frac{1}{x}}$ [/mm]

Wenn ich den LImes jetzt ausführe, kommt immer noch [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] raus. D.h. ich muss nochmal l'Hospitla anwenden?



Bezug
                                                                                        
Bezug
Grenzwertberechnung: nochmal de l'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Mi 18.05.2011
Autor: Loddar

Hallo!


> Wenn ich den LImes jetzt ausführe, kommt immer noch [mm]\frac{0}{0}[/mm] raus.
> D.h. ich muss nochmal l'Hospitla anwenden?

[ok] Genau.

Wenn Du magst, kannst Du den Bruch zuvor mit $x_$ erweitern.


Gruß
Loddar


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