Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Sa 21.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich hab nen paar Probleme Grenzwerte zu berrechnen. Meine Funktionen sind
(a) [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(3t)}{\wurzel[2]{t+2} - \wurzel[2]{2}}
[/mm]
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1 - e^{\wurzel[2]{sinx}}}{x}
[/mm]
(c) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{sin(x)})
[/mm]
(d) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] x sin [mm] (\bruch{1}{x})
[/mm]
(e) [mm] \limes_{x\rightarrow\pi} \bruch{x^{2} sin^{2}(x)}{(\pi - x^{2}) cos(x)}
[/mm]
(f) [mm] \limes_{x\rightarrow 0+} x^{x}
[/mm]
(g) [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x) - \bruch{1}{2} sin(2x)}{e^{-x^{2}} - cos(x)}
[/mm]
bei (e) hab ich nen bissl gerechnet und komme damit auf [mm] 9*\wurzel[2]{2}, [/mm] bei (b),(c) existiert kein Grenzwert. Bei (d) komme ich auf 0. Bei (e) habe ich keine idee, ich würde irgendwie immer weiter rechnen und zu keinem Grenzwert kommen, also existiert er für mich nicht. Bei (f) existiert auch keiner und bei (g) komme ich einfach nicht weiter. Kann mir einer helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo al3pou!
> (a) [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(3t)}{\wurzel[2]{t+2} - \wurzel[2]{2}}[/mm]
Wende de l'Hospital an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
alles klar,
ich hab l'Hopital angewendet
komme dann auf
[mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{3*cos(3t)}{-2*\wurzel[2]{(t+2)^{3}}} [/mm] = - [mm] \bruch{3}{4*\wurzel[2]{2}}
[/mm]
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Hallo al3pou,
> alles klar,
>
> ich hab l'Hopital angewendet
> komme dann auf
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{3*cos(3t)}{-2*\wurzel[2]{(t+2)^{3}}}[/mm]
> = - [mm]\bruch{3}{4*\wurzel[2]{2}}[/mm]
Das musst Du nochmaö nachrechnen,
insbesondere die Ableitung des Nenners.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
jetzt hab ich raus als Ableitung
[mm] cos(3t)*2*\wurzel[2]{t+2}
[/mm]
Grenzwert ist damit
[mm] 2*\wurzel[2]{2}
[/mm]
wenn es falsch ist, dann kann ich das nicht richtig ableiten. Ich hab doch, wenn ich den Nenner ableite, den cos(x) geteilt durch die Ableitung der Wurzel und das ist doch [mm] \bruch{1}{2*\wurzel[2]{t+2}} [/mm] oder? Dann Multiplikation mit dem Kehrwert und ich komme auf den Term oben.
LG
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Hallo al3pou,
> jetzt hab ich raus als Ableitung
>
> [mm]cos(3t)*2*\wurzel[2]{t+2}[/mm]
>
> Grenzwert ist damit
>
> [mm]2*\wurzel[2]{2}[/mm]
>
Hier fehlt doch noch der Faktor 3.
Demnache lautet der Grenzwert:[mm]\blue{3}*2*\wurzel[2]{2}[/mm]
> wenn es falsch ist, dann kann ich das nicht richtig
> ableiten. Ich hab doch, wenn ich den Nenner ableite, den
> cos(x) geteilt durch die Ableitung der Wurzel und das ist
> doch [mm]\bruch{1}{2*\wurzel[2]{t+2}}[/mm] oder? Dann Multiplikation
> mit dem Kehrwert und ich komme auf den Term oben.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Aber ich setze für t doch 0 ein und 3*0 = 0. Nicht?
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> Aber ich setze für t doch 0 ein und 3*0 = 0. Nicht?
die 3 kommt aber durch die anwendung der kettenregel.
sin(3t)'=3cos(3t)
und daraus wird für t=0 3
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
oh... hab ich ganz vergessen. Danke 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo al3pou!
> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1 - e^{\wurzel[2]{sinx}}}{x}[/mm]
Wende de l'Hospital an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
also hier komme ich auf
[mm] \limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{-e^{\wurzel[2]{sin(x)}}*cos(x)}{2*\wurzel[2]{sin(x)}}
[/mm]
wenn ich doch jetzt x gegen 0 laufen lasse, dann kommt da doch nix gescheites raus. Nenner geht ja dann gegen 0 und durch 0 darf ich nicht teilen. Also, was hab ich falsch gemacht?
LG
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Hallo al3pou,
> also hier komme ich auf
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \bruch{-e^{\wurzel[2]{sin(x)}}*cos(x)}{2*\wurzel[2]{sin(x)}}[/mm]
>
> wenn ich doch jetzt x gegen 0 laufen lasse, dann kommt da
> doch nix gescheites raus. Nenner geht ja dann gegen 0 und
> durch 0 darf ich nicht teilen. Also, was hab ich falsch
> gemacht?
>
Nichts.
> LG
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also existiert kein Grenzwert!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> (c) [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{sin(x)})[/mm]
Fasse zunächst auf einem Bruchstrich zusammen und wende dann de l'Hospital an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Auf gleichen Bruchstrich gebracht
[mm] \bruch{sin(x)-x}{xsin(x)}
[/mm]
dann l'Hopital
[mm] \bruch{cos(x) - 1}{xcos(x)+sin(x)}
[/mm]
bringt mir nix -> also nochmal l'Hopital
[mm] \bruch{-sin(x)}{2*cos(x)-xsin(x)}
[/mm]
jetzt kann ich doch nicht mehr weiter machen mit l'Hopital, weil der Zähler gegen 0 geht, aber der Nenner gegen 2. Also existiert doch kein Grenzwert oder was hab ich falsch gemacht?
LG
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Moin al3pou,
> Auf gleichen Bruchstrich gebracht
>
> [mm]\bruch{sin(x)-x}{xsin(x)}[/mm]
>
> dann l'Hopital
>
> [mm]\bruch{cos(x) - 1}{xcos(x)+sin(x)}[/mm]
>
> bringt mir nix -> also nochmal l'Hopital
>
> [mm]\bruch{-sin(x)}{2*cos(x)-xsin(x)}[/mm]
>
> jetzt kann ich doch nicht mehr weiter machen mit l'Hopital,
> weil der Zähler gegen 0 geht, aber der Nenner gegen 2.
> Also existiert doch kein Grenzwert oder was hab ich falsch
> gemacht?
Nein, alles richtig. Der Grenzwert existiert und lautet 0/2=0
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> (d) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] x sin [mm](\bruch{1}{x})[/mm]
Dein Ergebnis stimmt nicht.
Forme hier zunächst um zu:
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}x*\sin\left(\bruch{1}{x}\right) \ = \ \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\sin\left(\bruch{1}{x}\right)}{\bruch{1}{x}}[/mm]
Nun kann man entweder de l'Hospital anwenden, oder zunächst substituieren [mm]u \ := \ \bruch{1}{x}[/mm] .
Damit ergibt sich dann der (bekannte?) Grenzwert: [mm]\limes_{u\rightarrow 0}\bruch{\sin(u)}{u}[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo al3pou!
Ansonsten wäre es mehr als hilfreich (für uns aber auch für Dich!) gewesen, wenn Du uns nicht einfach "Ergebnisse" hinweirfst, sondern auch zugehörige Rechnungen mit Zwischenschritten!
Gruß
Loddar
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Hallo al3pou,
>
> (f) [mm]\limes_{x\rightarrow 0+} x^{x}[/mm]
>
> (g) [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x) - \bruch{1}{2} sin(2x)}{e^{-x^{2}} - cos(x)}[/mm]
> Bei (f) existiert auch keiner ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schreibe [mm]x^x[/mm] um in [mm]x^x=e^{x\cdot{}\ln(x)}[/mm] und nutze die Stetigkeit der Exponentialfunktion aus.
Es gilt [mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm]
Untersuche also, was der Exponent [mm]x\cdot{}\ln(x)[/mm] für [mm]x\to 0^+[/mm] treibt.
Tipp: geschickt umschreiben und die Regel von de l'Hôpital benutzen!
> und bei(g) komme ich einfach
> nicht weiter.
Bei direktem Grenzübergang [mm]x\to 0[/mm] erhältst du den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm], wende
de l'Hôpital an (wenn die Voraussetzungen stimmen, kannst du diese Regel auch mehrfach anwenden)
> Kann mir einer helfen?
>
> LG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Also bei (f) habe ich aus
[mm] x^{x} [/mm] = [mm] e^{x*ln(x)}
[/mm]
gemacht.
Dann habe ich vom Exponenten den limes berechnet und das ganze erstmal geschickt umgeschrieben zu
[mm] \bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Darauf habe ich dann l'Hôpital angewendet. Dann kam raus
-x
und damit ist der Grenzwert des Exponenten doch 0 und damit ist der Grenzwert der Funktion 1, weil [mm] e^{0} [/mm] = 1 ist.
LG
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> Also bei (f) habe ich aus
>
> [mm]x^{x}[/mm] = [mm]e^{x*ln(x)}[/mm]
>
> gemacht.
> Dann habe ich vom Exponenten den limes berechnet und das
> ganze erstmal geschickt umgeschrieben zu
>
> [mm]\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}.[/mm]
>
> Darauf habe ich dann l'Hôpital angewendet. Dann kam raus
>
> -x
>
> und damit ist der Grenzwert des Exponenten doch 0 und damit
> ist der Grenzwert der Funktion 1, weil [mm]e^{0}[/mm] = 1 ist.
>
> LG
genau
gruß tee
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mo 23.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich komme mir etwas doof vor bei (g)
Ich benutze 2mal l'Hopital und komme damit auf
[mm] \bruch{-sin(x)+4sin(x)cos(x)}{2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)+cos(x)}
[/mm]
und damit ist der Grenzwert doch 0.
LG
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Hallo al3pou,
> Ich komme mir etwas doof vor bei (g)
Warum? Das ist unnötig.
> Ich benutze 2mal l'Hopital
Richtig.
> und komme damit auf
>
> [mm]\bruch{-sin(x)+4sin(x)cos(x)}{2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)+cos(x)}[/mm]
Auch richtig.
> und damit ist der Grenzwert doch 0.
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
> (e) [mm]\limes_{x\rightarrow\pi} \bruch{x^{2} sin^{2}(x)}{(\pi - x^{2}) cos(x)}[/mm]
>
> bei (e) hab ich nen bissl gerechnet und komme damit auf
> [mm]9*\wurzel[2]{2},[/mm]
Aber wie?
Der Zähler strebt ersichtlich gegen 0, der Nenner gegen [mm] $\pi^2-\pi\neq [/mm] 0$
Also der Bruch insgesamt gegen 0
Falsch eingetippt?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
ich habe einmal l'Hôpital angewendet und komme damit auf
[mm] \bruch{2x*sin^{2}x + 2x^{2}sin(x)cos(x)}{2(x-\pi)cos(x)-sin(x)(x-\pi)^{2}}
[/mm]
und jetzt habe ich keine ahnung, wie ich weiter machen soll. Gibt es da irgendeinen Trick oder nochmal l'Hopital, weil es ziemlich kompliziert wird habe ich das Gefühl.
LG
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Hallo al3pou,
> ich habe einmal l'Hôpital angewendet und komme damit auf
>
> [mm]\bruch{2x*sin^{2}x + 2x^{2}sin(x)cos(x)}{2(x-\pi)cos(x)-sin(x)(x-\pi)^{2}}[/mm]
>
> und jetzt habe ich keine ahnung, wie ich weiter machen
> soll. Gibt es da irgendeinen Trick oder nochmal l'Hopital,
> weil es ziemlich kompliziert wird habe ich das Gefühl.
Hier kannst Du Zähler und Nenner in je eine Taylorreihe um [mm]2\pi[/mm] entwickeln.
Ansonsten führt kein Weg an l'Hospital vorbei.
>
> LG
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 22.05.2011 | | Autor: | al3pou |
also ich hab das dann jetzt nochmal ausgerechnet mit l'Hôpital und komme dann auf
[mm] \bruch{2sin^{2}(x)+8xsin(x)cos(x)+2x^{2}(cos^{2}-sin^{2})}{2cos(x)+4sin(x)(x-\pi)+cos(x)(x-\pi)^{2}}
[/mm]
Grenzwert ist dann [mm] \pi^{2}
[/mm]
Richtig?
LG
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> also ich hab das dann jetzt nochmal ausgerechnet mit
> l'Hôpital und komme dann auf
>
> [mm]\bruch{2sin^{2}(x)+8xsin(x)cos(x)+2x^{2}(cos^{2}-sin^{2})}{2cos(x)+4sin(x)(x-\pi)+cos(x)(x-\pi)^{2}}[/mm]
>
> Grenzwert ist dann [mm]\pi^{2}[/mm]
das vorzeichen stimmt nicht
>
> Richtig?
>
> LG
gruß tee
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