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Forum "Zahlentheorie" - Größter gemeinsamer Teiler ggT
Größter gemeinsamer Teiler ggT < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Größter gemeinsamer Teiler ggT: Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:40 Fr 13.05.2016
Autor: HageLie

Aufgabe
Für alle a, b ∈ N gilt:
                                 ggT(1,a)=1
                                 a|b -> ggT(a,b)=a
Wie lautet der Beweis unter Berücksichtigung Beweisstruktur?

Meine Voraussetzung wäre also:
Voraussetzung: Für alle a, b ∈ N gilt: ggT(1,a)=1
Behauptung:  a|b -> ggT(a,b)=a
Beweis: ..

Ist das von der Struktur so korrekt?

Ich habe eine Beweisidee, mir fällt es allerdings schwer diese mathematisch korrekt aufzuschreiben.
Beweisidee:
ggT(1,a)=1, weil T(1)={1} und T(1)∩T(a)={1}
1 ist in jeder Teilmenge von irgendeinen a. 1 teilt alle Zahlen somit auch in der Schnittmenge beider Mengen. Da in T(1) nur die 1 ist, ist 1 größtes Element der Schnittmenge.

Wie sieht dann der zugehörige Beweis aus?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Fr 13.05.2016
Autor: fred97


> Für alle a, b ∈ N gilt:
>                                   ggT(1,a)=1
>                                   a|b -> ggT(a,b)=a

>  Wie lautet der Beweis unter Berücksichtigung
> Beweisstruktur?
>  Meine Voraussetzung wäre also:
>  Voraussetzung: Für alle a, b ∈ N gilt: ggT(1,a)=1
>  Behauptung:  a|b -> ggT(a,b)=a

>  Beweis: ..
>  
> Ist das von der Struktur so korrekt?

Nein. Du sollst zwei Dinge zeigen:

1. für a [mm] \in \IN [/mm] gilt: ggT(1,a)=1

und

2. für a,b [mm] \in \IN [/mm] gilt: a|b -> ggT(a,b)=a.


>  
> Ich habe eine Beweisidee, mir fällt es allerdings schwer
> diese mathematisch korrekt aufzuschreiben.
>  Beweisidee:
>  ggT(1,a)=1, weil T(1)={1} und T(1)∩T(a)={1}

Mit T(1) meinst Du wohl die Menge der Teiler von 1 und mit T(a) die Menge der Teiler von a.


>  1 ist in jeder Teilmenge von irgendeinen a.

damit meinst Du wohl: 1 [mm] \in [/mm] T(a) für jedes a [mm] \in \IN. [/mm]


> 1 teilt alle
> Zahlen somit auch in der Schnittmenge beider Mengen.

D.h.: $1 [mm] \in [/mm] T(1) [mm] \cap [/mm] T(a)$


Da in

> T(1) nur die 1 ist, ist 1 größtes Element der
> Schnittmenge.

Also: [mm] $\{1\} [/mm] = T(1)=T(1) [mm] \cap [/mm] T(a)$,

und somit ggT(1,a)=1.


>  
> Wie sieht dann der zugehörige Beweis aus?

Siehe oben !

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Fr 13.05.2016
Autor: HageLie

Dann sieht mein Beweis wie folgt aus:

Voraussetzung: Für alle a, b [mm] \in \IN. [/mm]

Behauptung: (1) ggT(1,a)=1
                   (2) a|b [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)=a

Beweis: (1) ggT(1,a)=1
                 T(1)={1}, T(a)={1}, für jedes a [mm] \in \IN. [/mm]
                 [mm] \Rightarrow [/mm] T(1) [mm] \cap [/mm] T(a)={1}
                 [mm] \Rightarrow [/mm] T(1) [mm] \cap [/mm] T(a)=T(1)={1}
                 [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(1,a)=1 [mm] \Box [/mm]

             (2) ggT(a,b)=a
                 T(a)={a}, T(b)={a}, für alle a, b [mm] \in \IN. [/mm]
                 [mm] \Rightarrow [/mm] T(a) [mm] \cap [/mm] T(b)={a}
                 [mm] \Rightarrow [/mm] T(a) [mm] \cap [/mm] T(b)=T(a)={a}
                 [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)=1 [mm] \Box [/mm]

Wie mache ich aus Beweis (2) eine Folgerung aus a|b?
Sind die Beweise so korrekt aufgeschrieben? Auch mit den Folgerungspfeilen?


Bezug
                        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Fr 13.05.2016
Autor: fred97


> Dann sieht mein Beweis wie folgt aus:
>  
> Voraussetzung: Für alle a, b [mm]\in \IN.[/mm]

Nein. Die Voraussetzung lautet: seien $a,b [mm] \in \IN$ [/mm]

>  
> Behauptung: (1) ggT(1,a)=1
>                     (2) a|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b)=a
>  
> Beweis: (1) ggT(1,a)=1

Warum schreibst Du die Behauptung nochmal hin ????


>                   T(1)={1},


O.K.



> T(a)={1}, für jedes a [mm]\in \IN.[/mm]

Unsinn ! Es lautet:  1 [mm] \in [/mm] T(a)  für jedes a [mm]\in \IN.[/mm]


>  
>                  [mm]\Rightarrow[/mm] T(1) [mm]\cap[/mm] T(a)={1}
>                   [mm]\Rightarrow[/mm] T(1) [mm]\cap[/mm] T(a)=T(1)={1}
>                   [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(1,a)=1 [mm]\Box[/mm]

O.K.


>  
> (2) ggT(a,b)=a

Auch hier schreibst Du die Behauptung nochmal hin !! Warum ???


>                   T(a)={a}, T(b)={a}, für alle a, b [mm]\in \IN.[/mm]


Das ist doch Unfug ! Im allgemeinen hat a  nicht nur den Teiler a. T(a) enthält auf jeden Fall 1 und a.

Statt [mm] T(b)=\{a\} [/mm] muss es lauten: a [mm] \in [/mm] T(b), also a|b (das ist die Voraussetzung in (2) !




>  
>                  [mm]\Rightarrow[/mm] T(a) [mm]\cap[/mm] T(b)={a}
>                   [mm]\Rightarrow[/mm] T(a) [mm]\cap[/mm] T(b)=T(a)={a}
>                   [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b)=1 [mm]\Box[/mm]

Auch das ist Murks !


Wenn a|b, so ist doch a [mm] \in [/mm] T(a) und a [mm] \in [/mm] T(b). Zu zeigen ist: ggT(a,b)=a.

a ist schon mal ein Teiler von a und b. Zu zeigen ist: es gibt keinen Teiler von a und b , der größer als a ist.

FRED

>  
> Wie mache ich aus Beweis (2) eine Folgerung aus a|b?
>  Sind die Beweise so korrekt aufgeschrieben? Auch mit den
> Folgerungspfeilen?
>  


Bezug
                                
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Fr 13.05.2016
Autor: HageLie

Und noch einmal:

Voraussetzung: Seien a, b [mm] \in \IN. [/mm]

Behauptung:
(1) ggT(1,a)=1
(2) a|b [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)=a

Beweis:
(1) T(1)={1}, 1 [mm] \in [/mm] T(a) für jedes a [mm] \in \IN [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] T(1) [mm] \cap [/mm] T(a)={1}
[mm] \Rightarrow [/mm] T(1) [mm] \cap [/mm] T(a)=T(1)={1}
[mm] \Rightarrow [/mm] ggT(1,a)=1 [mm] \Box [/mm]

(2) Voraussetzung: a|b indirekter Beweis durch Widerspruch?
a [mm] \in [/mm] T(a), a [mm] \in [/mm] T(b)
Sei a [mm] \in [/mm] T(a) [mm] \cap [/mm] T(b) und a > ggT(a,b)
[mm] \Rightarrow [/mm] a|a [mm] \wedge [/mm] a|b
[mm] \Rightarrow [/mm] a|a+b [mm] \gdw [/mm] a|a (Widerspruch, es gibt keinen gemeinsamen Teiler, der größer als der größte gemeinsame Teiler ist. Da a nicht nur b teilt, sondern auch a, kann a nicht größer als ggT(a,b) sein.

Bezug
                                        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Fr 13.05.2016
Autor: fred97


> Und noch einmal:
>  
> Voraussetzung: Seien a, b [mm]\in \IN.[/mm]
>  
> Behauptung:
>  (1) ggT(1,a)=1
>  (2) a|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b)=a
>  
> Beweis:
>  (1) T(1)={1}, 1 [mm]\in[/mm] T(a) für jedes a [mm]\in \IN[/mm]
>  [mm]\Rightarrow[/mm]
> T(1) [mm]\cap[/mm] T(a)={1}
>  [mm]\Rightarrow[/mm] T(1) [mm]\cap[/mm] T(a)=T(1)={1}
>  [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(1,a)=1 [mm]\Box[/mm]


Das ist O.K.


>  
> (2) Voraussetzung: a|b indirekter Beweis durch
> Widerspruch?

????  "indirekter Beweis durch Widerspruch?" gehört doch nicht zur Voraussetzung !!!


>  a [mm]\in[/mm] T(a), a [mm]\in[/mm] T(b)
>  Sei a [mm]\in[/mm] T(a) [mm]\cap[/mm] T(b)

Was soll das mit "sei ... "

Es ist(!) a [mm]\in[/mm] T(a) [mm]\cap[/mm] T(b), denn a ist trivialerweise Teiler von a und a ist Teiler von b nach Vor.



>  und a > ggT(a,b)

Puuuh ! Du bist beratungsresisten !

a > ggT(a,b)  hab ich Dir nicht gesagt !

Ich hab Dir gesagt, dass Du Dir überlegen sollst, dass a und b keinen Teiler haben können, der größer als a ist.


>  [mm]\Rightarrow[/mm] a|a [mm]\wedge[/mm] a|b


Dieser Implikationspfeil ist völlig daneben ! Dass a ein Teiler von a ist, ist immer so. Dass a ein Teiler von b ist, ist gerade die Vor. !


>  [mm]\Rightarrow[/mm] a|a+b [mm]\gdw[/mm] a|a (Widerspruch, es gibt keinen
> gemeinsamen Teiler, der größer als der größte
> gemeinsame Teiler ist. Da a nicht nur b teilt, sondern auch
> a, kann a nicht größer als ggT(a,b) sein.

Nee, nee, da musst Du nochmal ran.

FRED


Bezug
        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: mal in Worten.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Fr 13.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

Da dir scheinbar noch nicht klar ist, was genau du zeigen willst, hier mal das ganze in Worten

zu Zuegen ist einerseits:
Für alle natürlichen Zahlen a ist der ggT von a und 1 die 1.
und zm zweiten.
Ist a ein Teiler von b, so ist der ggT von a und b dann a.

Beide Beweise kannst du recht schnell über die Betrachtung der Teilermengen der beteiligten Zahlen a und b sowie der Schnittmenge dieser Teilermengen führen.

Marius

Bezug
                
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:36 Mi 18.05.2016
Autor: HageLie

Ich komme mit Beweis (2) leider immer noch nicht weiter. Und habe es jetzt so verstanden, das der Beweis ein indirekter Beweis durch Widerspruch ist?

Also nochmal:
Voraussetzung: Seien a, b [mm] \in \IN [/mm] und a|b
Behauptung: a|b [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(a,b)=a
Beweis: a [mm] \in [/mm] T(a), a [mm] \in [/mm] T(b)
[mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] T(a) [mm] \cap [/mm] T(b)

Vielleicht mag mir ja nochmal jemand helfen.

Bezug
                        
Bezug
Größter gemeinsamer Teiler ggT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Mi 18.05.2016
Autor: fred97


> Ich komme mit Beweis (2) leider immer noch nicht weiter.
> Und habe es jetzt so verstanden, das der Beweis ein
> indirekter Beweis durch Widerspruch ist?
>  
> Also nochmal:
>  Voraussetzung: Seien a, b [mm]\in \IN[/mm] und a|b
>  Behauptung: a|b [mm]\Rightarrow[/mm] ggT(a,b)=a
>  Beweis: a [mm]\in[/mm] T(a), a [mm]\in[/mm] T(b)
>  [mm]\Rightarrow[/mm] a [mm]\in[/mm] T(a) [mm]\cap[/mm] T(b)
>  
> Vielleicht mag mir ja nochmal jemand helfen.

Eigentlich ist ja schon alles gesagt ....., aber ich mag dennoch.

1. da a|b, ist a Teiler von b.

2. trivial ist: a ist ein Teiler von a

Damit haben wir: a ist Teiler von a und b.


3. ggT(a,b) ist ebenfalls ein Teiler von a und b , und zwar der größte unter allen gemeinsamen Teilern von a und b.

Damit gilt:

(1) a [mm] \le [/mm] ggT(a,b).

4. Jetzt kommt die Preisfrage (zu gewinnen gibts nix): kann ein Teiler von a echt größer als a sein ?

Wenn ja, .... , nun schaun wir mal ....

Wenn nein, so muss

(2) ggT(a,b) [mm] \le [/mm] a

gelten.

In diesem Fall folgt dann aus (1) und (2): ggT(a,b)=a.

Es geht jetzt also nur noch darum, wie die richtige Antwort auf die obige Preisfrage lautet.

Nimm mal an, c [mm] \in \IN [/mm] wäre ein Teiler von a und es gelte c>a.

Da c Teiler von a ist, gibt es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit $a=n*c$. Nun zeige Du, dass das mit der Annahme c>a nun überhaupt nicht zusammenpasst.

FRED


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